Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть дан равнобедренный трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее. Высота BH, проведённая из вершины B на основание AD, делит его на отрезки AH и HD. Поскольку трапеция равнобедренная, основания пересекаются высотой на три отрезка, где средний равен меньшему основанию.

Пусть BC = x. Тогда AD = AH + HD. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из концов меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. Таким образом, мы имеем два случая:

1. Случай 1: Высота делит основание на отрезки 4 и 6. В равнобедренной трапеции эти отрезки симметричны относительно середины большего основания. Значит, меньший отрезок равен 4, а больший — 6. Тогда большее основание AD = 4 + 6 = 10. Так как трапеция равнобедренная, то основание AD делится высотой на три части: 4, x и 4. Тогда 4 + x + 4 = 10, откуда x = 10 - 8 = 2. Меньшее основание равно 2.
2. Случай 2: Если бы меньший отрезок был 6, а больший 4, это противоречило бы условию, что основание делится на отрезки 4 и 6.

Проверка: Если меньшее основание равно 2, а большее 10, то большее основание делится на отрезки 4 и 6, что соответствует условию.

Ответ: 2