Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 17 и 19. Найдите длину основания BC.

Решение:

В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на два отрезка. Отрезок, прилежащий к вершине острого угла, равен полуразности оснований, а отрезок, прилежащий к вершине тупого угла, равен полусумме оснований. Однако, на рисунке высота проведена из вершины C, которая является вершиной острого угла (если AD - большее основание).

Пусть AD — большее основание, а BC — меньшее основание. Высота CH, опущенная из вершины C на основание AD, делит его на отрезки AH и HD. В равнобедренной трапеции \( AH = HD \) тогда, когда трапеция является прямоугольной, что не так. Если высота опущена из вершины C, то она делит основание AD на отрезки AH и HD. Тогда \( AD = AH + HD \). В равнобедренной трапеции \( AH \) и \( \text{отрезок, прилежащий к D} \) равны.

Пусть основания трапеции равны \( a \) (большее) и \( b \) (меньшее). Пусть \( h \) — высота. Проведём высоту из \( C \) к \( AD \), пусть она опустится в точке \( H \). Тогда \( BH \) = \( b \). Отрезки \( AH \) и \( HD \) такие, что \( AH + HD = a \). В равнобедренной трапеции \( AH = HD = \frac{a-b}{2} \) если высота опущена из вершины C на AD, и AD - большее основание. В таком случае, высота делит основание AD на два отрезка. Один из этих отрезков равен \( AH = \frac{AD - BC}{2} \). Второй отрезок равен \( HD = AH + BC = \frac{AD - BC}{2} + BC = \frac{AD + BC}{2} \).

По условию, высота делит основание AD на отрезки 17 и 19. Это означает, что \( AD = 17 + 19 = 36 \).

Есть два случая: \( AH = 17 \) и \( HD = 19 \), либо \( AH = 19 \) и \( HD = 17 \). Поскольку AD — большее основание, то \( HD \) должно быть больше \( AH \), если бы CH была высотой к AD. Однако, если высота проведена из C, то точка H лежит на AD. Тогда \( AD = AH + HD \).

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины C на основание AD, то отрезок HD будет равен \( BC + \frac{AD-BC}{2} = \frac{AD+BC}{2} \) и отрезок AH будет равен \( \frac{AD-BC}{2} \).

Следовательно, \( AH = 17 \) и \( HD = 19 \) (или наоборот). В сумме они дают \( AD = 17 + 19 = 36 \).

Мы имеем: \( \frac{AD - BC}{2} = 17 \) и \( \frac{AD + BC}{2} = 19 \), или наоборот.

Случай 1: \( AH = 17, HD = 19 \).

\( \frac{36 - BC}{2} = 17 \) \(\implies\) \( 36 - BC = 34 \) \(\implies\) \( BC = 36 - 34 = 2 \).

Проверим второй отрезок: \( \frac{36 + 2}{2} = \frac{38}{2} = 19 \). Это соответствует условию.

Случай 2: \( AH = 19, HD = 17 \).

\( \frac{36 - BC}{2} = 19 \) \(\implies\) \( 36 - BC = 38 \) \(\implies\) \( BC = 36 - 38 = -2 \). Это невозможно.

Таким образом, основание BC равно 2.

Ответ: 2.