Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

Решение:

Утверждение верно.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а высота \(h\). В равнобедренную трапецию, в которую можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности \(h = 2r\). Сторона \(c\) находится по теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \). Также для трапеции с вписанной окружностью верно, что \(a+b = 2c\), следовательно \(c = \frac{a+b}{2}\). Подставляя \(c\) и \(h\) в теорему Пифагора: \( \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = (2r)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 \). Решая это уравнение, можно показать, что \(h = 2r\) равно среднему геометрическому оснований \( \sqrt{ab} \) в случае, когда трапеция является прямоугольной. В общем случае равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, высота равна среднему арифметическому оснований, то есть \(h = \frac{a+b}{2}\). Однако, если речь идет о высоте, равной среднему геометрическому, то это верно для случая, когда боковая сторона равна полусумме оснований.

Ответ: Верно.