1. Высота цилиндра равна 12√3 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём цилиндра. 2. Образующая конуса равна 15 см, а его высота – 9 см. Найдите объём конуса. 3. Площади поверхностей двух шаров относятся как 9 : 25. Найдите отношение их объёмов. 4. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии а от центра верхнего основания и стягивает дугу, градусная мера которой равна α, 0° < α < 180°. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол ф. Найдите объём цилиндра. 5. Основанием пирамиды является прямоугольный гипотенузой треугольник с 30 см и катетом 18 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 30°. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

1. Объём цилиндра

• Дано:
  • Высота цилиндра \( h = 12\sqrt{3} \) см
  • Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания \( \alpha = 60^\circ \)
• Найти: Объём цилиндра \( V \)

Решение:

• Пусть радиус основания цилиндра равен \( r \). Тогда диагональ осевого сечения равна \( \frac{h}{\tan \alpha} = \frac{12\sqrt{3}}{\tan 60^\circ} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \) см.
• Диагональ осевого сечения также равна \( 2r \), значит, \( 2r = 12 \), откуда \( r = 6 \) см.
• Объём цилиндра равен \( V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{3} = 432\sqrt{3} \pi \) см³.

Ответ: \( 432\sqrt{3} \pi \) см³

2. Объём конуса

• Дано:
  • Образующая конуса \( l = 15 \) см
  • Высота конуса \( h = 9 \) см
• Найти: Объём конуса \( V \)

Решение:

• Радиус основания конуса можно найти из теоремы Пифагора: \( r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \) см.
• Объём конуса равен \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 9 = 432 \pi \) см³.

Ответ: \( 432 \pi \) см³

3. Отношение объёмов шаров

• Дано: Отношение площадей поверхностей двух шаров \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{25} \)
• Найти: Отношение их объёмов \( \frac{V_1}{V_2} \)

Решение:

• Отношение площадей поверхностей шаров равно квадрату отношения их радиусов: \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{25} \), откуда \( \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
• Отношение объёмов шаров равно кубу отношения их радиусов: \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125} \).

Ответ: \( \frac{27}{125} \)

4. Объём цилиндра (с хордой)

Для решения этой задачи недостаточно данных. Необходимо знать либо значение d, либо значение угла α, либо значение угла φ, чтобы определить радиус основания цилиндра.

5. Объём конуса, вписанного в пирамиду

• Дано:
  • Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 30 \) см и катетом \( a = 18 \) см.
  • Двугранные углы при рёбрах основания равны \( 30^\circ \).
• Найти: Объём конуса, вписанного в пирамиду.

Решение:

• Сначала найдём второй катет прямоугольного треугольника: \( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24 \) см.
• Площадь основания пирамиды: \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216 \) см².
• Так как двугранные углы при рёбрах основания равны \( 30^\circ \), вершина высоты пирамиды проектируется в центр вписанной в основание окружности. Радиус этой окружности можно найти по формуле: \( r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{18 + 24 - 30}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.
• Высота пирамиды: \( h = r \cdot \tan 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
• Объём конуса, вписанного в пирамиду, равен: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \pi \) см³.

Ответ: \( 24\sqrt{3} \pi \) см³