Высота цилиндра равна 8 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём цилиндра.

Решение:

Дано:

• Высота цилиндра \( h = 8 \) см.
• Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания \( = 30^\circ \).

Найти:

• Объём цилиндра \( V \).

Ход решения:

1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника образует прямоугольный треугольник с высотой цилиндра и диаметром основания.
2. В этом треугольнике высота \( h = 8 \) см является противолежащим катетом к углу \( 30^\circ \). Диаметр \( d \) основания — прилежащий катет.
3. Используем тангенс угла:

\[ \tan() = \frac{h}{d} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{8}{d} \]

Значение \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{d} \]

\[ d = 8\sqrt{3} \) см.

4. Найдем радиус основания:

\[ r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см.

5. Объём цилиндра вычисляется по формуле:

\[ V = \pi r^2 h \]

Подставим значения:

\[ V = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 8 \]

\[ V = \pi (16 · 3) · 8 \]

\[ V = \pi · 48 · 8 \]

\[ V = 384π \) см³.

Ответ: 384π см³.