1. Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD, делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см, KD = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если ∠A = 45°. 2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ВС = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, ∠D = 30°. 3. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ = 5 см, КТ = 10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР = 12 см, КР = 9 см.

Привет! Сейчас разберем эти задачи по геометрии. Будет интересно!

Задача 1: Площадь параллелограмма

Давай найдем площадь параллелограмма ABCD.

1. Найдем сторону AD:

AD = AK + KD = 7 см + 15 см = 22 см

2. Найдем высоту BK:

В треугольнике ABK угол A равен 45°. Значит, треугольник ABK равнобедренный, и BK = AK = 7 см.

3. Вычислим площадь параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна основание \(\times\) высоту. В нашем случае:

S = AD \(\times\) BK = 22 см \(\times\) 7 см = 154 см²

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 154 см².

Задача 2: Площадь трапеции

Теперь найдем площадь трапеции ABCD.

1. Проведем высоту CE:

Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Тогда AECD - прямоугольник. ED = AD - AE = AD - BC = 27 см - 13 см = 14 см.

2. Найдем высоту CE:

В треугольнике CDE угол D равен 30°. Значит, CE = CD \(\times\) sin(30°) = 10 см \(\times\) 0.5 = 5 см.

3. Вычислим площадь трапеции:

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

S = \(\frac{AD + BC}{2} \times CE = \frac{27 + 13}{2} \times 5 = \frac{40}{2} \times 5 = 20 \times 5 = 100\) см²

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 100 см².

Задача 3: Площади треугольников

И, наконец, найдем площади треугольников MPT и KPT.

1. Найдем высоту треугольников MPT и KPT:

Сначала найдем площадь треугольника MKP по формуле Герона:

Полупериметр \(p = \frac{MK + KP + MP}{2} = \frac{15 + 9 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18\)

Площадь \(S_{MKP} = \sqrt{p(p-MK)(p-KP)(p-MP)} = \sqrt{18(18-15)(18-9)(18-12)} = \sqrt{18 \times 3 \times 9 \times 6} = \sqrt{2916} = 54\) см²

2. Найдем высоту PH, проведенную к стороне MK:

\(S_{MKP} = \frac{1}{2} \times MK \times PH\), отсюда \(PH = \frac{2 \times S_{MKP}}{MK} = \frac{2 \times 54}{15} = \frac{108}{15} = 7.2\) см

3. Вычислим площади треугольников MPT и KPT:

Площадь \(S_{MPT} = \frac{1}{2} \times MT \times PH = \frac{1}{2} \times 5 \times 7.2 = 18\) см²

Площадь \(S_{KPT} = \frac{1}{2} \times KT \times PH = \frac{1}{2} \times 10 \times 7.2 = 36\) см²

Ответ: Площадь треугольника MPT равна 18 см², площадь треугольника KPT равна 36 см².

Ответ: 1. 154; 2. 100; 3. 18 и 36