Высота ВН ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки АН = 4 и HD = 1. Найдите площадь ромба.

ШАГ 1. Анализ условия и идентификация задачи.

Нам дан ромб ABCD, в котором высота BH делит сторону AD на отрезки AH = 4 и HD = 1. Требуется найти площадь ромба.

ШАГ 2. Выбор методики и планирование решения.

Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне. В данном случае нам известны отрезки, на которые высота делит сторону AD. Мы можем найти длину стороны AD, а затем, используя прямоугольный треугольник ABH, найти высоту BH по теореме Пифагора.

План решения:

1. Найти длину стороны AD ромба.
2. Рассмотреть прямоугольный треугольник ABH.
3. Применить теорему Пифагора для нахождения высоты BH.
4. Найти площадь ромба как произведение стороны AD на высоту BH.

ШАГ 3. Пошаговое выполнение и форматирование.

1. Длина стороны AD равна сумме отрезков AH и HD:

   $$AD = AH + HD = 4 + 1 = 5$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём AB - гипотенуза, AH и BH - катеты. Так как ABCD - ромб, то все его стороны равны. Следовательно, AB = AD = 5.

3. Применим теорему Пифагора для треугольника ABH:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$$$5^2 = 4^2 + BH^2$$$$25 = 16 + BH^2$$$$BH^2 = 25 - 16 = 9$$$$BH = sqrt{9} = 3$$

4. Площадь ромба ABCD равна:

   $$S_{ABCD} = AD cdot BH = 5 cdot 3 = 15$$

ШАГ 4. Финальное оформление ответа.

Площадь ромба равна 15.