3. Высоты остроугольного треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке Н. Докажите, что если АН = СН, то ΔАВС равнобедренный.

Решение:

Пусть высоты, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке H. Обозначим основания высот как A₁ и C₁ соответственно. Тогда AA₁ и CC₁ — высоты треугольника ABC, и AA₁ ⊥ BC, CC₁ ⊥ AB.

Рассмотрим треугольники AHC₁ и CHA₁. В них:

• AH = CH (по условию)
• ∠AHC₁ = ∠CHA₁ (вертикальные углы)

Рассмотрим прямоугольные треугольники АА₁С и СС₁А:

• AH = CH (по условию).
• ∠AA₁C = ∠CC₁A = 90° (по определению высоты).
• ∠ACA₁ = ∠CAC₁ (так как ∠AHC₁ = ∠CHA₁)

Следовательно, прямоугольные треугольники АА₁С и СС₁А равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников АА₁С и СС₁А следует, что:

• ∠A = ∠C

В треугольнике ABC углы при основании A и C равны, значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.