268. Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC=140°.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB = AC). Пусть BB1 и CC1 - высоты, проведенные к сторонам AC и AB соответственно. M - точка пересечения высот. Дано: ∠BMC = 140° Найти: углы треугольника ABC. Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник AB1MC1. В нем ∠AB1M = 90° и ∠AC1M = 90°. Следовательно, ∠AB1M + ∠AC1M = 180°. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, поэтому ∠BAC + ∠BMC = 360° - 180° = 180°. 2. Найдем угол ∠BAC: ∠BAC = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40° 3. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то ∠ABC = ∠ACB. 4. Найдем углы ∠ABC и ∠ACB: ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180° ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 40° = 140° ∠ABC = ∠ACB = 140° / 2 = 70° Ответ: Углы треугольника ABC равны: ∠BAC = 40°, ∠ABC = 70°, ∠ACB = 70°