Высоты треугольника пересекаются в точке О. Величина угла ∠BAC = 53°, величина угла ∠ABC = 55°. Определи угол ∠AOB.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна 180°.

1. Найдем угол \( \angle ACB \):
   \[ \angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 53° - 55° = 180° - 108° = 72° \]
2. Так как \( AD \) и \( BE \) — высоты, то \( \angle ADB = 90° \) и \( \angle AEB = 90° \).
3. Рассмотрим треугольник \( ABD \). Угол \( \angle BAD = \angle BAC = 53° \). Угол \( \angle ADB = 90° \).
   \[ \angle ABD = 180° - 90° - 53° = 37° \]
4. Рассмотрим треугольник \( ABE \). Угол \( \angle ABE = \angle ABC = 55° \). Угол \( \angle AEB = 90° \).
   \[ \angle BAE = 180° - 90° - 55° = 35° \]
5. Теперь рассмотрим треугольник \( AOB \). Мы знаем два угла: \( \angle OAB = \angle BAE = 35° \) и \( \angle OBA = \angle ABD = 37° \).
6. Найдем угол \( \angle AOB \):
   \[ \angle AOB = 180° - \angle OAB - \angle OBA = 180° - 35° - 37° = 180° - 72° = 108° \]

Ответ: 108°.