Высоты треугольника пересекаются в точке О. Величина угла ∠ BAC = 60°, величина угла ∠ ABC = 65°. Определи угол ∠ AOB.

Решение:

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°.

Найдем угол C:

\[ \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC \]

\[ \angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 65^{\circ} \]

\[ \angle ACB = 180^{\circ} - 125^{\circ} \]

\[ \angle ACB = 55^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный двумя высотами и одной из сторон. Например, треугольник AOE, где E - точка на AC.

В прямоугольном треугольнике ABE:

\[ \angle BAE = \angle BAC = 60^{\circ} \]

\[ \angle AEB = 90^{\circ} \text{ (так как BE - высота)} \]

Угол \(\angle\) ABE:

\[ \angle ABE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник BOD. В нем:

\[ \angle BDO = 90^{\circ} \text{ (так как AD - высота)} \]

Угол \(\angle\) OBD равен \(\angle\) ABC = 65^{\(\circ\)}. Но нам нужен угол \(\angle\) OBD в прямоугольном треугольнике BOD. Давайте пойдем другим путем.

Рассмотрим треугольник AOB. Чтобы найти угол AOB, нам нужно знать два других угла в этом треугольнике. У нас есть угол \(\angle\) OAB и \(\angle\) OBA.

\(\angle\) OAB — это тот же угол \(\angle\) DAB, который является частью \(\angle\) BAC. Так как AD — высота, то \(\triangle\) ADB — прямоугольный.

\[ \angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB + \angle ABD + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB = 90^{\circ} - \angle ABD \]

У нас есть \(\angle\) ABC = 65^{\(\circ\)}. Но \(\angle\) ABD не обязательно равно \(\angle\) ABC, если D не совпадает с C.

Другой подход:

В четырехугольнике CDOE (где D на AB, E на AC, O - точка пересечения высот):

\[ \angle CDO = 90^{\circ} \]

\[ \angle CEO = 90^{\circ} \]

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\[ \angle DCE + \angle CEO + \angle EOD + \angle CDO = 360^{\circ} \]

\[ \angle ACB + 90^{\circ} + \angle EOD + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ 55^{\circ} + 180^{\circ} + \angle EOD = 360^{\circ} \]

\[ \angle EOD = 360^{\circ} - 235^{\circ} \]

\[ \angle EOD = 125^{\circ} \]

Углы \(\angle\) EOD и \(\angle\) AOB — вертикальные. Нет, они не вертикальные.

Углы \(\angle\) EOD и \(\angle\) AOB смежные? Нет.

Углы \(\angle\) AOB и \(\angle\) EOD не вертикальные. Вертикальные углы — это \(\angle\) AOE и \(\angle\) BOD, а также \(\angle\) AOB и \(\angle\) EOD (если O - точка пересечения AC и BE, что не так).

Вернемся к треугольнику AOB.

У нас есть \(\angle\) BAC = 60^{\(\circ\)} и \(\angle\) ABC = 65^{\(\circ\)}. Нам нужно найти \(\angle\) AOB.

В прямоугольном треугольнике BDC, \(\angle\) BDC = 90^{\(\circ\)}.

В прямоугольном треугольнике ADC, \(\angle\) ADC = 90^{\(\circ\)}.

Ключевой момент: Угол между двумя высотами треугольника равен 180° минус угол треугольника, противолежащий стороне, на которую падает третья высота.

Угол, противолежащий стороне AB, это угол C. Значит, угол между высотами AD и BE равен \(\angle\) AOB = 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) C.

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - 55^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 125^{\circ} \]

Проверка:

Рассмотрим \(\triangle\) OAB. Сумма углов в нем равна 180°.

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\(\angle\) OAB = \(\angle\) DAB. В \(\triangle\) ADC, \(\angle\) C = 55^{\(\circ\)}, \(\angle\) ADC = 90^{\(\circ\)}, значит \(\angle\) CAD = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 35^{\(\circ\)}. Так как \(\angle\) BAC = 60^{\(\circ\)}, то \(\angle\) DAB = 60^{\(\circ\)} - 35^{\(\circ\)} = 25^{\(\circ\)}. Это \(\angle\) OAB.

\(\angle\) OBA = \(\angle\) EBD. В \(\triangle\) BCE, \(\angle\) BEC = 90^{\(\circ\)}, \(\angle\) C = 55^{\(\circ\)}, значит \(\angle\) EBC = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 55^{\(\circ\)} = 35^{\(\circ\)}. Так как \(\angle\) ABC = 65^{\(\circ\)}, то \(\angle\) EBA = 65^{\(\circ\)} - 35^{\(\circ\)} = 30^{\(\circ\)}. Это \(\angle\) OBA.

Теперь подставим в \(\triangle\) OAB:

\[ 25^{\circ} + 30^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\[ 55^{\circ} + \angle AOB = 180^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \]

Расчеты совпали! Значит, формула верна.

Ответ: 125