Высоты треугольника пересекаются в точке О. Величина угла ∠ BAC = 71°, величина угла ∠ ABC = 72°. Определи угол ∠ AOB.

Решение:

1. Находим третий угол треугольника: В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Поэтому, чтобы найти угол ∠ ACB, нужно из 180° вычесть два известных угла: \[ \angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 71° - 72° = 180° - 143° = 37° \]
2. Находим угол в треугольнике BOC: В треугольнике BOC, ∠ BOC и ∠ AOB являются смежными углами, если рассматривать прямую AC. Однако, O — точка пересечения высот. AD и BE — высоты, поэтому ∠ ADB = 90° и ∠ BEA = 90°. Треугольник BOC не является прямоугольным. Рассмотрим треугольник BDC. ∠ BDC = 90°. Угол ∠ BCD = ∠ ACB = 37°. Тогда ∠ CBD = 180° - 90° - 37° = 53°.
3. Рассмотрим треугольник AOC: Аналогично, рассмотрим треугольник AEC. ∠ AEC = 90°. ∠ CAE = ∠ BAC = 71°. Тогда ∠ ACE = 180° - 90° - 71° = 19°.
4. Находим угол ∠ AOB: В треугольнике ABO, ∠ OAB = ∠ BAC = 71°, ∠ OBA = ∠ ABC - ∠ CBD = 72° - 53° = 19°. Сумма углов в треугольнике ABO: \[ \angle AOB = 180° - \angle OAB - \angle OBA = 180° - 71° - 19° = 180° - 90° = 90° \]
5. Альтернативный метод: Угол между двумя высотами треугольника равен углу между сторонами, перпендикулярными этим высотам. Угол между высотами AO и BO равен углу между сторонами AC и BC. Угол ∠ AOB = 180° - ∠ ACB. Мы нашли ∠ ACB = 37°. \[ \angle AOB = 180° - 37° = 143° \]. Это формула для угла между высотами, исходящими из одной вершины. АОВ - это угол между высотами, исходящими из разных вершин. Если O - ортоцентр, то угол между высотами AO и BO равен 180° - ∠ C.
6. Перепроверим: В треугольнике AOB: ∠ OAB = 71°. ∠ OBA = ∠ ABC - ∠ EBC = 72° - (90° - ∠ ACB) = 72° - (90° - 37°) = 72° - 53° = 19°. Тогда ∠ AOB = 180° - 71° - 19° = 90°. Этот результат неверен, так как на картинке угол AOB выглядит тупым.
7. Корректный метод: Угол между двумя высотами треугольника равен углу между сторонами, перпендикулярными этим высотам. Угол между высотами AO (перпендикуляр к BC) и BO (перпендикуляр к AC) равен углу ∠ C. \[ \angle AOB = \angle C = 37° \]. Это также неверно, так как на картинке угол AOB выглядит тупым.
8. Формула для угла между высотами: Угол между двумя высотами треугольника равен углу между сторонами, параллельными этим высотам. Или, угол между высотами, проведенными к сторонам a и b, равен углу между сторонами a и b. В данном случае, угол между высотами AO и BO равен углу ∠ C. Мы нашли ∠ C = 37°. Однако, этот угол является острым. Есть другая формула: \[ \angle AOB = 180° - \angle C \]
9. Применим правильную формулу: \[ \angle AOB = 180° - \angle ACB \] \[ \angle AOB = 180° - 37° = 143° \]

Ответ: 143