Выясните, имеет ли система линейных уравнений решение и сколько: a) {4x + y = 6; 8x + 2y = 12} б) {4x + y = 6; 12x - 3y = 18} в) {4x + y = 1; 2x + 2y = 1}

Решение:

Для определения количества решений системы линейных уравнений сравним коэффициенты при x и y, а также свободные члены.

• Система а)
  • \( \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases} \)
  • Разделим второе уравнение на 2: \( \frac{8x}{2} + \frac{2y}{2} = \frac{12}{2} \) => \( 4x + y = 6 \).
  • Получаем, что оба уравнения идентичны. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
• Система б)
  • \( \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases} \)
  • Разделим второе уравнение на 3: \( \frac{12x}{3} - \frac{3y}{3} = \frac{18}{3} \) => \( 4x - y = 6 \).
  • Сравним коэффициенты: \( \frac{4}{4} = 1 \) (коэффициенты при x), \( \frac{1}{-1} = -1 \) (коэффициенты при y).
  • Так как коэффициенты при x и y разные (1 \(
    eq\) -1), а свободные члены одинаковы (6=6), система имеет единственное решение.
  • Однако, если бы мы сравнили коэффициенты так: \( \frac{12}{4} = 3 \), \( \frac{-3}{1} = -3 \), \( \frac{18}{6} = 3 \).
  • Сравнивая коэффициенты первого уравнения \( a_1x+b_1y=c_1 \) и второго \( a_2x+b_2y=c_2 \) : \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-3} \). Так как \( \frac{1}{3}
    eq \frac{-1}{3} \), система имеет единственное решение.
• Система в)
  • \( \begin{cases} 4x + y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \end{cases} \)
  • Сравним коэффициенты: \( \frac{4}{2} = 2 \) (коэффициенты при x), \( \frac{1}{2} \) (коэффициенты при y), \( \frac{1}{1} = 1 \) (свободные члены).
  • Так как \( \frac{a_1}{a_2} = 2 \) и \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \), то \( \frac{a_1}{a_2}
    eq \frac{b_1}{b_2} \). Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ:

• а) Бесконечное множество решений.
• б) Единственное решение.
• в) Единственное решение.