687. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

Разберем каждую систему уравнений и определим, имеет ли она решения и сколько. а) \(\begin{cases} 2x - 6y = 10 \\ 8y = 7 - 2x \end{cases}\) Преобразуем второе уравнение: \(2x + 8y = 7\). Разделим первое уравнение на 2: \(x - 3y = 5\), откуда \(x = 3y + 5\). Подставим это во второе уравнение: \(2(3y + 5) + 8y = 7\), \(6y + 10 + 8y = 7\), \(14y = -3\), \(y = -\frac{3}{14}\). Тогда \(x = 3(-\frac{3}{14}) + 5 = -\frac{9}{14} + \frac{70}{14} = \frac{61}{14}\). Система имеет единственное решение. б) \(\begin{cases} 3x - 12 = 8y \\ 1.5x - 4y = 6 \end{cases}\) Преобразуем первое уравнение: \(3x - 8y = 12\). Преобразуем второе уравнение, умножив его на 2: \(3x - 8y = 12\). Оба уравнения идентичны, значит, система имеет бесконечно много решений. в) \(\begin{cases} y = 4x \\ x - 8 = -6y \end{cases}\) Подставим первое уравнение во второе: \(x - 8 = -6(4x)\), \(x - 8 = -24x\), \(25x = 8\), \(x = \frac{8}{25}\). Тогда \(y = 4(\frac{8}{25}) = \frac{32}{25}\). Система имеет единственное решение. г) \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}\) Из первого уравнения: \(x = 5 - y\). Подставим это во второе уравнение: \(3(5 - y) - 2y = 8\), \(15 - 3y - 2y = 8\), \(5y = 7\), \(y = \frac{7}{5}\). Тогда \(x = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25}{5} - \frac{7}{5} = \frac{18}{5}\). Система имеет единственное решение. д) \(\begin{cases} 3 - 3y = 4x \\ -8x = 6y - 6 \end{cases}\) Преобразуем первое уравнение: \(4x + 3y = 3\). Преобразуем второе уравнение, разделив на -2: \(4x + 3y = 3\). Оба уравнения идентичны, значит, система имеет бесконечно много решений. е) \(\begin{cases} x + 4y = 5 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}\) Из второго уравнения: \(x = y - 3\). Подставим это в первое уравнение: \((y - 3) + 4y = 5\), \(5y = 8\), \(y = \frac{8}{5}\). Тогда \(x = \frac{8}{5} - 3 = \frac{8}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{7}{5}\). Система имеет единственное решение.