687. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) (2x-6y=10, 8y=7-2x; 3x-12=8y, 6) (1,5x-4y=6; B) y=4x, x-8=-6y; д) (3-3у=4х, -8x=6y-6; Sx+y=5, г) 3x-2y=8; e) (x+4y=5, x-y+3=0.

Решение задания 687

a)

\[\begin{cases}
2x - 6y = 10 \\
8y = 7 - 2x
\end{cases}\]

\[\begin{cases}
2x - 6y = 10 \\
2x + 8y = 7
\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: \[2x = 10 + 6y\] \[x = 5 + 3y\]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[2(5 + 3y) + 8y = 7\] \[10 + 6y + 8y = 7\] \[14y = -3\] \[y = -\frac{3}{14}\]

Теперь найдем x: \[x = 5 + 3(-\frac{3}{14})\] \[x = 5 - \frac{9}{14}\] \[x = \frac{70 - 9}{14}\] \[x = \frac{61}{14}\]

Система имеет единственное решение: \[x = \frac{61}{14}, y = -\frac{3}{14}\]

б)

\[\begin{cases}
3x - 12y = 8y \\
1.5x - 4y = 6
\end{cases}\]

\[\begin{cases}
3x - 20y = 0 \\
1. 5x - 4y = 6
\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: \[3x = 20y\] \[x = \frac{20}{3}y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[1.5(\frac{20}{3}y) - 4y = 6\]
\[10y - 4y = 6\]
\[6y = 6\]
\[y = 1\]

Теперь найдем x:
\[x = \frac{20}{3}(1)\]
\[x = \frac{20}{3}\]

Система имеет единственное решение: \[x = \frac{20}{3}, y = 1\]

в)

\[\begin{cases}
y = 4x \\
x - 8 = -6y
\end{cases}\]

Подставим первое уравнение во второе: \[x - 8 = -6(4x)\] \[x - 8 = -24x\] \[25x = 8\] \[x = \frac{8}{25}\]

Теперь найдем y: \[y = 4(\frac{8}{25})\] \[y = \frac{32}{25}\]

Система имеет единственное решение: \[x = \frac{8}{25}, y = \frac{32}{25}\]

г)

\[\begin{cases}
x + y = 5 \\
3x - 2y = 8
\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: \[x = 5 - y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[3(5 - y) - 2y = 8\]
\[15 - 3y - 2y = 8\]
\[-5y = -7\]
\[y = \frac{7}{5}\]

Теперь найдем x:
\[x = 5 - \frac{7}{5}\]
\[x = \frac{25 - 7}{5}\]
\[x = \frac{18}{5}\]

Система имеет единственное решение: \[x = \frac{18}{5}, y = \frac{7}{5}\]

д)

\[\begin{cases}
3 - 3y = 4x \\
-8x = 6y - 6
\end{cases}\]

\[\begin{cases}
4x + 3y = 3 \\
-8x - 6y = -6
\end{cases}\]

Умножим первое уравнение на -2: \[-8x - 6y = -6\]

Второе уравнение: \[-8x - 6y = -6\]

Оба уравнения идентичны, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

e)

\[\begin{cases}
x + 4y = 5 \\
x - y + 3 = 0
\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: \[x = y - 3\]

Подставим это выражение в первое уравнение:
\[(y - 3) + 4y = 5\]
\[5y = 8\]
\[y = \frac{8}{5}\]

Теперь найдем x:
\[x = \frac{8}{5} - 3\]
\[x = \frac{8 - 15}{5}\]
\[x = -\frac{7}{5}\]

Система имеет единственное решение: \[x = -\frac{7}{5}, y = \frac{8}{5}\]

Уровень эксперт: Чтобы глубже понять тему, изучи методы решения систем уравнений: метод подстановки, метод сложения, графический метод. Какой из них самый универсальный?