1078. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) 4y-x=12, 3y + x = -3; б) y-3x=0, 3y - x = 6; в) 1,5x = 1, -3x + 2y = -2; г) [x+2y=3, y = -0,5x; д) 2x=11-2y, 6y=22-4x; e) -x+2y=8, x + 4y = 10.

Решение:

Давай разберем каждую систему уравнений по порядку и определим, сколько решений она имеет.

а)

\[\begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y + x = -3. \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(4y - x) + (3y + x) = 12 + (-3)\] \[7y = 9\] \[y = \frac{9}{7}\]

Подставим значение y в первое уравнение:

\[4\cdot\frac{9}{7} - x = 12\] \[\frac{36}{7} - x = 12\] \[x = \frac{36}{7} - 12 = \frac{36 - 84}{7} = \frac{-48}{7}\]

Система имеет одно решение: \[(\frac{-48}{7}; \frac{9}{7})\]

б)

\[\begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6. \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: \[y = 3x\]

Подставим во второе уравнение:

\[3(3x) - x = 6\] \[9x - x = 6\] \[8x = 6\] \[x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\]

Найдем y: \[y = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\]

Система имеет одно решение: \[(\frac{3}{4}; \frac{9}{4})\]

в)

\[\begin{cases} 1.5x = 1, \\ -3x + 2y = -2. \end{cases}\]

Из первого уравнения найдем x: \[x = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\]

Подставим во второе уравнение:

\[-3 \cdot \frac{2}{3} + 2y = -2\] \[-2 + 2y = -2\] \[2y = 0\] \[y = 0\]

Система имеет одно решение: \[(\frac{2}{3}; 0)\]

г)

\[\begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0.5x. \end{cases}\]

Подставим y во второе уравнение в первое:

\[x + 2(-0.5x) = 3\] \[x - x = 3\] \[0 = 3\]

Система не имеет решений.

д)

\[\begin{cases} 2x = 11 - 2y, \\ 6y = 22 - 4x. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[2x + 2y = 11\] \[x = \frac{11}{2} - y\]

Подставим во второе уравнение:

\[6y = 22 - 4(\frac{11}{2} - y)\] \[6y = 22 - 22 + 4y\] \[2y = 0\] \[y = 0\]

Тогда \[x = \frac{11}{2}\]

Система имеет одно решение: \[(\frac{11}{2}; 0)\]

е)

\[\begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10. \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(-x + 2y) + (x + 4y) = 8 + 10\] \[6y = 18\] \[y = 3\]

Подставим значение y во второе уравнение:

\[x + 4(3) = 10\] \[x + 12 = 10\] \[x = -2\]

Система имеет одно решение: \[(-2; 3)\]

Ответ: a) одно решение, б) одно решение, в) одно решение, г) нет решений, д) одно решение, е) одно решение

Отлично, ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!