Выясните, является ли функция F(x) = x^4/4 + x^3 - x^2 + √3x + C первообразной для функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + √3

Решение:

Чтобы проверить, является ли функция \( F(x) \) первообразной для функции \( f(x) \), необходимо продифференцировать \( F(x) \) и сравнить результат с \( f(x) \).

Дана функция: \( F(x) = \frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 + \sqrt{3}x + C \)

Найдем производную \( F'(x) \):

• Производная от \( \frac{x^4}{4} \) равна \( \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3 \).
• Производная от \( x^3 \) равна \( 3x^2 \).
• Производная от \( -x^2 \) равна \( -2x \).
• Производная от \( \sqrt{3}x \) равна \( \sqrt{3} \).
• Производная от константы \( C \) равна 0.

Следовательно, \( F'(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + \sqrt{3} \).

Сравним полученную производную с функцией \( f(x) \):

\( F'(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + \sqrt{3} \)

\( f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + \sqrt{3} \)

Видим, что \( F'(x) = f(x) \).

Ответ: Да, является.