What is the value of x in the following equation: (x+8)/(2x^2 - 18) - 2/(x-3) = 1?

Дано:

• \[ \frac{x+8}{2x^2 - 18} - \frac{2}{x-3} = 1 \]

Решение:

1. Преобразуем знаменатель первой дроби:
   \[ 2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3) \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю (который будет 2(x-3)(x+3)):
   \[ \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} - \frac{2 · 2(x+3)}{2(x-3)(x+3)} = 1 \]
3. Упростим числитель:
   \[ \frac{x+8 - 4(x+3)}{2(x-3)(x+3)} = 1 \]
   \[ \frac{x+8 - 4x - 12}{2(x-3)(x+3)} = 1 \]
   \[ \frac{-3x - 4}{2(x-3)(x+3)} = 1 \]
4. Перенесем все в одну сторону и приравняем к нулю:
   \[ -3x - 4 = 2(x-3)(x+3) \]
   \[ -3x - 4 = 2(x^2 - 9) \]
   \[ -3x - 4 = 2x^2 - 18 \]
5. Приведем к стандартному квадратному уравнению:
   \[ 2x^2 + 3x - 14 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]
7. Найдем корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 · 2} = \frac{8}{4} = 2 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 · 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \]
8. Проверим корни на допустимость (знаменатель не должен быть равен нулю):
   При x = 2: 2(2)² - 18 = 8 - 18 = -10 ≠ 0. x-3 = 2-3 = -1 ≠ 0.
   При x = -7/2: 2(-7/2)² - 18 = 2(49/4) - 18 = 49/2 - 36/2 = 13/2 ≠ 0. x-3 = -7/2 - 6/2 = -13/2 ≠ 0.
   Оба корня допустимы.

Ответ: x = 2, x = -7/2