Which expression correctly represents the work done by the electric field?

Решение:

Работа электрического поля (A_эл) над заряженной частицей связана с изменением ее кинетической энергии. По теореме о кинетической энергии, работа равна изменению кинетической энергии:

A_эл = ΔE_k = E_{k. конечная} - E_{k. начальная}

Кинетическая энергия вычисляется по формуле E_k = $$\( \frac{m \cdot v^2}{2} \)$$ , где m — масса частицы, а v — ее скорость.

Следовательно:

A_эл = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$

Также работа электрического поля связана с разностью потенциалов (U) и зарядом частицы (q) формулой:

A_эл = qU

В данном случае, частица движется в поле, которое замедляет ее, поэтому работа поля должна быть отрицательной, если мы рассматриваем ее как работу внешних сил, совершаемую над системой. Однако, если мы рассматриваем работу, совершаемую полем, то она может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления движения относительно поля. Если частица останавливается, это значит, что поле совершает работу против ее движения, или, что кинетическая энергия уменьшается. Из предложенных вариантов, нам нужно выбрать тот, который соответствует изменению кинетической энергии.

В условии задачи сказано, что направление поля противоположно направлению движения частицы. Это означает, что электрическое поле тормозит частицу. Работа, совершаемая полем, будет равна разности конечной и начальной кинетической энергии. Если конечная скорость меньше начальной, работа будет отрицательной (поле совершает работу против движения).

Исходя из формулы A = qU, и того, что частица замедляется, можно предположить, что U будет отрицательным, если q положительное (протон), или положительным, если q отрицательное. В данном случае, масса и заряд протона даны, значит q > 0. Поскольку поле тормозит частицу, работа поля должна уменьшать ее кинетическую энергию. Следовательно, A_эл = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ .

Также A_эл = qU. Если поле тормозит протон (q > 0), то U должно быть отрицательным, чтобы работа была отрицательной (если считать работу как изменение кинетической энергии). Однако, если мы говорим о разности потенциалов, которую проходит частица, то она может быть как положительной, так и отрицательной. Формула A = qU показывает, что работа прямо пропорциональна заряду и разности потенциалов.

Проанализируем варианты:

• 1. A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - В этом варианте работа поля положительна (если v2 > v1), что противоречит торможению.
• 2. A_эл = -qU = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - Этот вариант предполагает, что работа равна изменению кинетической энергии, но при этом учет знака -qU.
• 3. A_эл = -qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - Этот вариант правильно отражает, что работа равна изменению кинетической энергии (начальная минус конечная), и что она должна быть отрицательной, так как частица тормозит. Если A_эл = -qU, и A_эл < 0, то qU > 0. Для протона (q > 0), U должно быть > 0.
• 4. A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - Этот вариант также правильно отражает, что работа равна изменению кинетической энергии (начальная минус конечная), и что она должна быть отрицательной. Если A_эл = qU, и A_эл < 0, то U должно быть < 0.

Учитывая, что направление поля противоположно направлению движения, и частица останавливается (v2 = 0), работа поля равна -$$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$.

Если A_эл = qU, то qU = -$$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$.

Если A_эл = -qU, то -qU = -$$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$, откуда qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$.

Вернемся к вариантам. Варианты 3 и 4 оба представляют работу как разность начальной и конечной кинетической энергии, что правильно для случая торможения. Разница в том, как представлена связь с qU.

Стандартная формула для работы электрического поля: A = q * ΔV, где ΔV — разность потенциалов. Если поле тормозит частицу, то работа поля отрицательна. Для протона (q > 0), это означает, что ΔV < 0. То есть, конечный потенциал меньше начального.

Вариант 4: A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Здесь работа представлена как начальная кинетическая энергия минус конечная кинетическая энергия. Это соответствует случаю, когда частица тормозит. Если A_эл = qU, и A_эл < 0, то U < 0.

Вариант 3: A_эл = -qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Здесь работа тоже представлена правильно с точки зрения кинетической энергии. Если A_эл = -qU, и A_эл < 0, то -qU < 0, что означает qU > 0. Для протона (q > 0), U > 0.

Обычно работа поля равна q * (начальный потенциал - конечный потенциал). Если частица движется в направлении уменьшения потенциала, работа положительна. Если в направлении увеличения потенциала, работа отрицательна.

Поскольку поле направлено противоположно движению, оно тормозит частицу. Значит, кинетическая энергия уменьшается, и работа поля A_эл = E_k2 - E_k1 < 0.

Также A_эл = qU, где U - разность потенциалов. U = V1 - V2. Если A_эл < 0, то q(V1 - V2) < 0. Для протона (q > 0), V1 - V2 < 0, т.е. V1 < V2. Частица движется в направлении увеличения потенциала, поэтому поле тормозит ее.

Теперь посмотрим на варианты:

• Вариант 4: A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Здесь работа представлена как начальная кинетическая энергия минус конечная. Это верно, если работа отрицательна. И если A_эл = qU, то U = $$\( \frac{\frac{m \cdot v_1^2}{2} - \frac{m \cdot v_2^2}{2}}{q} \)$$. Поскольку работа отрицательна, U должно быть отрицательным для протона.
• Вариант 3: A_эл = -qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Здесь работа тоже равна изменению кинетической энергии. Если A_эл = -qU, то -qU < 0, значит qU > 0. Для протона, U > 0.

Наиболее стандартная запись работы как изменение кинетической энергии, т.е. E_{k.конечная} - E_{k.начальная}. Но в вариантах представлена начальная минус конечная.

Если выбрать вариант, где работа равна $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$, это означает, что работа поля отрицательна, что соответствует торможению.

Из предложенных вариантов, вариант 4 имеет вид A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Это предполагает, что qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$.

Если поле тормозит частицу, то работа, совершаемая полем, отрицательна. Работа = конечная кинетическая энергия - начальная кинетическая энергия. A = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$. Если частица останавливается, v2=0, то A = -$$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$.

С другой стороны, A = qU, где U - разность потенциалов. U = V1 - V2. q(V1 - V2) = -$$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$.

Смотрим на варианты. Вариант 4: A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Здесь работа представлена как изменение кинетической энергии, но в обратном порядке (начальная минус конечная), что означает, что работа должна быть положительной, если v1 > v2. Однако, если мы интерпретируем U как разность потенциалов, и эта разность потенциалов является той, которую проходит частица, то U может быть отрицательным.

Наиболее вероятный правильный ответ, учитывая, что поле противоположно движению и тормозит частицу (v2 < v1), и работа должна уменьшать кинетическую энергию:

A_эл = qU = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$

Это соответствует варианту 4, где работа выражена как разность начальной и конечной кинетической энергии, и она связана с qU. Знак минус в варианте 3 (-qU) и связь с начальной минус конечной кинетической энергией делают его также потенциально верным, но стандартная формула работы - это qU.

Если принять, что A_эл = qU, и A_эл = $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ (так как частица тормозит, работа отрицательна, значит, начальная кинетическая энергия больше конечной, и мы берем разность в таком виде), то вариант 4 является верным.

Выбор варианта 4.

Обоснование: Работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы. Поскольку поле направлено противоположно движению, оно тормозит частицу, и ее кинетическая энергия уменьшается. Поэтому работа поля A_эл = E_{k.конечная} - E_{k.начальная} = $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$. Однако, в предложенных вариантах работа представлена как начальная кинетическая энергия минус конечная: $$\( \frac{m \cdot v_1^2}{2} \)$$ - $$\( \frac{m \cdot v_2^2}{2} \)$$. Если эта работа равна qU, то вариант 4 является наиболее подходящим, предполагая, что U — это та разность потенциалов, которую проходит частица.