Необходимо знать контекст, чтобы ответить на вопрос.
Предположим, что Part-Ex - это сокращение от "Part Exchange" (частичный обмен). В таком случае, собаку могли назвать Part-Ex, потому что её взяли в семью в результате обмена или приобретения части другого имущества.
Ответ: Недостаточно информации для ответа.