Для ответа на вопрос необходимо подобрать подходящий союз, чтобы образовалось сложноподчиненное предложение.
В данном случае подходит союз "until" (пока не), так как он указывает на временной промежуток, когда действие (барбекю) будет продолжаться, пока не произойдет другое действие (Томми почувствует себя лучше).
Ответ: until