x^{2} \leqslant 64_{?}?

Для решения неравенства $$x^2 \leqslant 64$$ необходимо найти значения x, при которых квадрат x не превышает 64.

1. Преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть: $$x^2 - 64 \leqslant 0$$.

2. Заметим, что $$x^2 - 64$$ можно разложить как разность квадратов: $$(x - 8)(x + 8) \leqslant 0$$.

3. Теперь нужно найти корни уравнения $$(x - 8)(x + 8) = 0$$. Это значения $$x = 8$$ и $$x = -8$$.

4. Рассматриваем числовую прямую и отмечаем на ней точки -8 и 8. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty; -8]$$, $$[-8; 8]$$, $$[8; +\infty)$$.

5. Определим знак выражения $$(x - 8)(x + 8)$$ на каждом из интервалов:

• На интервале $$(-\infty; -8)$$ возьмем $$x = -9$$. Тогда $$(-9 - 8)(-9 + 8) = (-17)(-1) = 17 > 0$$.
• На интервале $$[-8; 8]$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0$$.
• На интервале $$[8; +\infty)$$ возьмем $$x = 9$$. Тогда $$(9 - 8)(9 + 8) = (1)(17) = 17 > 0$$.

6. Так как нам нужно найти значения x, при которых $$(x - 8)(x + 8) \leqslant 0$$, выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $$[-8; 8]$$.

Таким образом, решение неравенства $$x^2 \leqslant 64$$ - это $$x \in [-8; 8]$$.

Ответ: $$x \in [-8; 8]$$