Решение неравенства x² > 16

Для решения неравенства x² > 16 необходимо найти значения x, при которых квадрат x больше 16.

1. Преобразуем неравенство:

   Перенесем 16 в левую часть неравенства:

   $$x^2 - 16 > 0$$

2. Разложим левую часть на множители:

   Воспользуемся формулой разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

   В нашем случае a = x и b = 4, так как 16 = 4²

   $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

   Теперь наше неравенство выглядит так:

   $$(x - 4)(x + 4) > 0$$

3. Найдем нули функции:

   Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни:

   $$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$$

   $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$

   Получаем две точки: x = 4 и x = -4.

4. Определим знаки на интервалах:

   Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней точки -4 и 4. Эти точки разбивают прямую на три интервала: (-∞, -4), (-4, 4) и (4, ∞).

   ----(-4)----(4)---->

   Выберем по одному числу из каждого интервала и проверим знак выражения (x - 4)(x + 4):

   • Интервал (-∞, -4): возьмем x = -5. Тогда (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) = 9 > 0
   • Интервал (-4, 4): возьмем x = 0. Тогда (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) = -16 < 0
   • Интервал (4, ∞): возьмем x = 5. Тогда (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) = 9 > 0

5. Запишем решение неравенства:

   Неравенство (x - 4)(x + 4) > 0 выполняется на интервалах, где выражение положительно. Это интервалы (-∞, -4) и (4, ∞).

   Таким образом, решение неравенства x² > 16:

   $$x \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$$

Ответ: x принадлежит интервалам от минус бесконечности до -4 и от 4 до плюс бесконечности.