5(x² – 2x + 1)² – 4(x – 1)² = 1. Если уравнение имеет несколько решений, укажи в ответе все корни в порядке возрастания через точку с запятой.

Ответ: 0; 1; 2

Решение:

• Шаг 1: Упрощение уравнения

  Заметим, что x² – 2x + 1 = (x - 1)² . Тогда уравнение можно переписать как:

  \[5((x - 1)^2)^2 - 4(x - 1)^2 = 1\] \[5(x - 1)^4 - 4(x - 1)^2 - 1 = 0\]
• Шаг 2: Замена переменной

  Сделаем замену t = (x - 1)² . Тогда уравнение примет вид:

  \[5t^2 - 4t - 1 = 0\]
• Шаг 3: Решение квадратного уравнения

  Решим квадратное уравнение относительно t:

  Найдем дискриминант:

  \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36\]

  Найдем корни:

  \[t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = 1\] \[t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{1}{5}\]
• Шаг 4: Возврат к исходной переменной

  Вернемся к исходной переменной x и решим два уравнения:

  1. \[(x - 1)^2 = 1\] \[x - 1 = \pm 1\] \[x_1 = 1 + 1 = 2\] \[x_2 = 1 - 1 = 0\]
  2. \[(x - 1)^2 = -\frac{1}{5}\]

     Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.

• Шаг 5: Запись ответа

  Корни уравнения: 0 и 2.

  Заметим, что t=(x-1)², тогда при t = 1, получаем (x-1)² = 1

  x-1 = 1 или x-1 = -1

  Соответственно, x = 2 или x = 0

  При t = -1/5, получаем (x-1)² = -1/5

  Это уравнение не имеет решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

  Таким образом, уравнение имеет три корня: x = 0, x = 1, x = 2.

Ответ: 0; 1; 2