15. 25x² − 30x = 0. 17. 49x² + 16 = 0. 19. x² − 8x + 16 = 0. 21. x² + 8x - 9 = 0. 23. 4x²− 5x - 6 = 0. 16. 16x² − 25 = 0. 18. 2x²− 9 = 0. 20. 9x² + 24x + 16 = 0. 22. 4x² + 3x + 1 = 0. 24. 6x² + 13x - 5 = 0.

Давай решим эти квадратные уравнения по порядку! Я покажу ход решения каждого из них, чтобы тебе было понятно. 1. 15. 25x² − 30x = 0 Вынесем общий множитель за скобки: \[5x(5x - 6) = 0\] Тогда либо \(5x = 0\), либо \(5x - 6 = 0\). Решаем каждое уравнение: \[x_1 = 0\] \[5x = 6 \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} = 1.2\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1.2

2. 16. 16x² − 25 = 0 Это разность квадратов: \[(4x - 5)(4x + 5) = 0\] Тогда либо \(4x - 5 = 0\), либо \(4x + 5 = 0\). Решаем каждое уравнение: \[4x = 5 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{4} = 1.25\] \[4x = -5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{4} = -1.25\]

Ответ: x₁ = 1.25, x₂ = -1.25

3. 17. 49x² + 16 = 0 Здесь можно сразу увидеть, что уравнение не имеет решений, так как \(49x^2\) всегда неотрицательно, и прибавление 16 даст число больше нуля. \[49x^2 = -16\] \[x^2 = -\frac{16}{49}\] Нет действительных решений.

Ответ: Нет действительных решений

4. 18. 2x² − 9 = 0 \[2x^2 = 9\] \[x^2 = \frac{9}{2}\] \[x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: x₁ = \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\), x₂ = \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

5. 19. x² − 8x + 16 = 0 Это полный квадрат: \[(x - 4)^2 = 0\] \[x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\]

Ответ: x = 4

6. 20. 9x² + 24x + 16 = 0 Это тоже полный квадрат: \[(3x + 4)^2 = 0\] \[3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}\]

Ответ: x = -\(\frac{4}{3}\)

7. 21. x² + 8x − 9 = 0 Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-8 \pm 10}{2}\] \[x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -9

8. 22. 4x² + 3x + 1 = 0 Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7\] Так как дискриминант отрицательный, нет действительных решений.

Ответ: Нет действительных решений

9. 23. 4x² − 5x − 6 = 0 Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(4)(-6) = 25 + 96 = 121\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2(4)} = \frac{5 \pm 11}{8}\] \[x_1 = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2\] \[x_2 = \frac{5 - 11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\]

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -\(\frac{3}{4}\)

10. 24. 6x² + 13x − 5 = 0 Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(6)(-5) = 169 + 120 = 289\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{289}}{2(6)} = \frac{-13 \pm 17}{12}\] \[x_1 = \frac{-13 + 17}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-13 - 17}{12} = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2}\]

Ответ: x₁ = \(\frac{1}{3}\), x₂ = -\(\frac{5}{2}\)