x²-1 5-x = x+5 x+5 2x+3 3x+2 = x+2 x y+3 2y+3 = y-3 y 4x²-11x-3=0 3-x 2x²+x-1=2 2x-1

Решим каждое уравнение по отдельности.

1) $$\frac{x^2-1}{x+5} = \frac{5-x}{x+5}$$

ОДЗ: $$x
e -5$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+5)$$, получим:

$$x^2 - 1 = 5 - x$$

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2) $$\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}$$

ОДЗ: $$x
e -2, x
e 0$$

Перекрестное умножение:

$$(2x+3)x = (3x+2)(x+2)$$ $$2x^2 + 3x = 3x^2 + 6x + 2x + 4$$ $$2x^2 + 3x = 3x^2 + 8x + 4$$ $$0 = x^2 + 5x + 4$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

3) $$\frac{y+3}{y-3} = \frac{2y+3}{y}$$

ОДЗ: $$y
e 3, y
e 0$$

Перекрестное умножение:

$$(y+3)y = (2y+3)(y-3)$$ $$y^2 + 3y = 2y^2 - 6y + 3y - 9$$ $$y^2 + 3y = 2y^2 - 3y - 9$$ $$0 = y^2 - 6y - 9$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$$

$$y_1 = \frac{6 + \sqrt{72}}{2} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$$

$$y_2 = \frac{6 - \sqrt{72}}{2} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

4) $$\frac{4x^2 - 11x - 3}{3-x} = 0$$

ОДЗ: $$x
e 3$$

Для того, чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю:

$$4x^2 - 11x - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$$

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{169}}{8} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

$$x_2 = \frac{11 - \sqrt{169}}{8} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$

$$x_1 = 3$$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, остается только $$x_2 = -\frac{1}{4}$$.

5) $$\frac{2x^2 + x - 1}{2x - 1} = 2$$

ОДЗ: $$x
e \frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на $$(2x - 1)$$, получим:

$$2x^2 + x - 1 = 2(2x - 1)$$ $$2x^2 + x - 1 = 4x - 2$$ $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{1}{2}$$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, остается только $$x_1 = 1$$.

Ответ: 1) $$x_1 = 2, x_2 = -3$$, 2) $$x_1 = -1, x_2 = -4$$, 3) $$y_1 = 3 + 3\sqrt{2}, y_2 = 3 - 3\sqrt{2}$$, 4) $$x = -\frac{1}{4}$$, 5) $$x = 1$$