(x² - 4x - 21)(x² - 9x + 14) ≤ 0

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим первый квадратный трехчлен \(x^2 - 4x - 21\) на множители. Для этого найдем корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\).

   Дискриминант \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\).

   Корни: \[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7\]\[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3\]

   Таким образом, \(x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)\).

2. Шаг 2: Разложим второй квадратный трехчлен \(x^2 - 9x + 14\) на множители. Для этого найдем корни уравнения \(x^2 - 9x + 14 = 0\).

   Дискриминант \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\).

   Корни: \[x_3 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 5}{2} = 7\]\[x_4 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 5}{2} = 2\]

   Таким образом, \(x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)\).

3. Шаг 3: Запишем исходное неравенство в виде произведения множителей:\[(x - 7)(x + 3)(x - 7)(x - 2) ≤ 0\]\[(x - 7)^2(x + 3)(x - 2) ≤ 0\]
4. Шаг 4: Анализируем полученное неравенство. Множитель \((x - 7)^2\) всегда неотрицателен. Значит, он не влияет на знак неравенства, за исключением точки \(x = 7\), где выражение равно нулю.
5. Шаг 5: Решаем неравенство \((x + 3)(x - 2) ≤ 0\) методом интервалов.

   Отмечаем на числовой прямой точки \(-3\) и \(2\). Определяем знаки на интервалах:

   • \(x < -3\): \((-)\) \((-)\) > 0
   • \(-3 < x < 2\): \((+)\) \((-)\) < 0
   • \(x > 2\): \((+)\) \((+)\) > 0

   Таким образом, \(-3 ≤ x ≤ 2\) является решением неравенства.

6. Шаг 6: Добавляем к этому решению точку \(x = 7\), так как в этой точке исходное неравенство также обращается в ноль.

Ответ: \(x \in [-3; 2] \cup \{7\}\)