Решение неравенства

Рассмотрим неравенство: $$(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0$$

1. Разложение на множители первого выражения: $$x^2 + 7x = x(x + 7)$$
2. Разложение на множители второго выражения:
   • Найдём корни квадратного уравнения $$x^2 - 7x + 6 = 0$$
   • Дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 49 - 24 = 25$$
   • Корни: $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1$$
   • Разложение на множители: $$x^2 - 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)$$
3. Подстановка разложений в исходное неравенство: $$x(x + 7)(x - 6)(x - 1) < 0$$
4. Находим корни: $$x = 0, x = -7, x = 6, x = 1$$
5. Располагаем корни на числовой прямой:
   ----(-7)----(0)----(1)----(6)---->
6. Определяем знаки на каждом интервале:
   • $$(-\infty; -7):$$ выберем $$-8$$, подставим в выражение: $$-8(-8+7)(-8-6)(-8-1) = -8(-1)(-14)(-9) < 0$$ (отрицательное)
   • $$(-7; 0):$$ выберем $$-1$$, подставим в выражение: $$-1(-1+7)(-1-6)(-1-1) = -1(6)(-7)(-2) > 0$$ (положительное)
   • $$(0; 1):$$ выберем $$0.5$$, подставим в выражение: $$0.5(0.5+7)(0.5-6)(0.5-1) = 0.5(7.5)(-5.5)(-0.5) < 0$$ (отрицательное)
   • $$(1; 6):$$ выберем $$2$$, подставим в выражение: $$2(2+7)(2-6)(2-1) = 2(9)(-4)(1) < 0$$ (отрицательное)
   • $$(6; +\infty):$$ выберем $$7$$, подставим в выражение: $$7(7+7)(7-6)(7-1) = 7(14)(1)(6) > 0$$ (положительное)
7. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля: $$x \in (-\infty; -7) \cup (0; 1) \cup (1; 6)$$

Ответ: $$x \in (-7; 0) \cup (1; 6)$$