(2x² + 4x)(3x - x²) <0; (2x + 5)³ x²-2x-1 2) (2x - 5)(x+2)² < 0.

Привет! Разберем решение этих неравенств.

Первое неравенство:

\[ \frac{(2x^2 + 4x)(3x - x^2)}{(2x + 5)^3} < 0 \]

Разложим числитель на множители:

\[ \frac{2x(x + 2) \, x(3 - x)}{(2x + 5)^3} < 0 \]

\[ \frac{2x^2(x + 2)(3 - x)}{(2x + 5)^3} < 0 \]

Так как \( x^2 \) всегда положительно (кроме \( x = 0 \) ), можем упростить:

\[ \frac{(x + 2)(3 - x)}{(2x + 5)^3} < 0 \]

Пошаговое решение:

Нули числителя: \( x = -2 \), \( x = 3 \)
Нуль знаменателя: \( x = -\frac{5}{2} = -2.5 \)

Отметим эти значения на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

Интервалы: \( (-\infty; -2.5) \), \( (-2.5; -2) \), \( (-2; 3) \), \( (3; +\infty) \)

Проверим знаки на каждом интервале:

• \( x < -2.5 \): \( (-) \cdot (+) / (-) = + \)
• \( -2.5 < x < -2 \): \( (-) \cdot (+) / (+) = - \)
• \( -2 < x < 3 \): \( (+) \cdot (+) / (+) = + \)
• \( x > 3 \): \( (+) \cdot (-) / (+) = - \)

Неравенство меньше нуля в интервалах: \( (-2.5; -2) \) и \( (3; +\infty) \).

Учитывая, что \( x
eq 0 \), окончательное решение:

\[ x \in (-2.5; -2) \cup (3; +\infty) \]

Второе неравенство:

\[ \frac{x^2 - 2x - 1}{(2x - 5)(x + 2)^2} < 0 \]

Пошаговое решение:

Найдем нули числителя:

\[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]

\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, нули числителя: \( x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41 \) и \( x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 \)

Нули знаменателя: \( x = \frac{5}{2} = 2.5 \) и \( x = -2 \)

Отметим эти значения на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

Интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 1 - \sqrt{2}) \), \( (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \), \( (1 + \sqrt{2}; 2.5) \), \( (2.5; +\infty) \)

Проверим знаки на каждом интервале:

• \( x < -2 \): \( (+) / (-) \cdot (+) = - \)
• \( -2 < x < 1 - \sqrt{2} \): \( (+) / (-) \cdot (+) = - \)
• \( 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \): \( (-) / (-) \cdot (+) = + \)
• \( 1 + \sqrt{2} < x < 2.5 \): \( (+) / (-) \cdot (+) = - \)
• \( x > 2.5 \): \( (+) / (+) \cdot (+) = + \)

Неравенство меньше нуля в интервалах: \( (-\infty; -2) \) и \( (1 + \sqrt{2}; 2.5) \)

Учитывая, что \( x
eq -2 \), окончательное решение:

\[ x \in (-\infty; -2) \cup (1 + \sqrt{2}; 2.5) \]

Удачи в учебе!