3) {x² + y² = 29 xy = 10

Определим предмет и тему задания: алгебра, решение систем уравнений.

Определим тип задания: вычисление, решение системы уравнений методом подстановки.

Определим, что требуется в качестве результата: значения переменных x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям системы.

Решение:

1. Выразим y из второго уравнения: $$y = \frac{10}{x}$$
2. Подставим выражение для y в первое уравнение: $$x^2 + \left(\frac{10}{x}\right)^2 = 29$$ $$x^2 + \frac{100}{x^2} = 29$$
3. Умножим обе части уравнения на $$x^2$$, чтобы избавиться от дроби: $$x^4 + 100 = 29x^2$$ $$x^4 - 29x^2 + 100 = 0$$
4. Решим биквадратное уравнение. Введем замену $$t = x^2$$: $$t^2 - 29t + 100 = 0$$
5. Вычислим дискриминант: $$D = (-29)^2 - 4 cdot 1 cdot 100 = 841 - 400 = 441$$
6. Найдем корни квадратного уравнения: $$t_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2 cdot 1} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2 cdot 1} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
7. Найдем значения x, учитывая, что $$x^2 = t$$:
   • Для $$t_1 = 25$$: $$x_1 = 5$$ $$x_2 = -5$$
   • Для $$t_2 = 4$$: $$x_3 = 2$$ $$x_4 = -2$$
8. Найдем соответствующие значения y для каждого значения x:
   • Для $$x_1 = 5$$: $$y_1 = \frac{10}{5} = 2$$
   • Для $$x_2 = -5$$: $$y_2 = \frac{10}{-5} = -2$$
   • Для $$x_3 = 2$$: $$y_3 = \frac{10}{2} = 5$$
   • Для $$x_4 = -2$$: $$y_4 = \frac{10}{-2} = -5$$
9. Запишем решение системы уравнений в виде пар (x, y): $$(5, 2)$$, $$(-5, -2)$$, $$(2, 5)$$, $$(-2, -5)$$

Ответ: $$(5, 2), (-5, -2), (2, 5), (-2, -5)$$