Решение неравенства

Для решения неравенства $$(4x-3)^2 + (7x+1)^2 < (5x-4)(13x+1)$$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочлена на многочлен.
2. Упростить неравенство, привести подобные члены.
3. Решить полученное квадратное неравенство.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Раскроем скобки, используя формулы $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ и $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$:

$$(4x-3)^2 = (4x)^2 - 2(4x)(3) + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$$ $$(7x+1)^2 = (7x)^2 + 2(7x)(1) + 1^2 = 49x^2 + 14x + 1$$ $$(5x-4)(13x+1) = 5x(13x+1) - 4(13x+1) = 65x^2 + 5x - 52x - 4 = 65x^2 - 47x - 4$$

Шаг 2: Упрощение неравенства

Теперь подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$$16x^2 - 24x + 9 + 49x^2 + 14x + 1 < 65x^2 - 47x - 4$$

Соберем подобные члены:

$$(16x^2 + 49x^2) + (-24x + 14x) + (9 + 1) < 65x^2 - 47x - 4$$ $$65x^2 - 10x + 10 < 65x^2 - 47x - 4$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$65x^2 - 10x + 10 - (65x^2 - 47x - 4) < 0$$ $$65x^2 - 10x + 10 - 65x^2 + 47x + 4 < 0$$

Упростим:

$$(65x^2 - 65x^2) + (-10x + 47x) + (10 + 4) < 0$$ $$37x + 14 < 0$$

Шаг 3: Решение линейного неравенства

Решим полученное линейное неравенство:

$$37x < -14$$ $$x < \frac{-14}{37}$$

Таким образом, решением неравенства является:

$$x < -\frac{14}{37}$$

Ответ:

$$x < -\frac{14}{37}$$