x²+2 x-√2 x+√2 (9 ㅇ) (+1)(++1)x+20+4. x²+2x²+4 a²-c3 a+23 4.112. a) 3c-a 3a-33 2a-2c c+a²-ac+c√3-√3 - 2x 2-x²-y²+2xy x+y+√2 Упростите выражение (113-118): Va √চ a-b a²+ab 4.113. (ao vato) 2 4.114. (a+1 va+4√a)(√) . √a-1 Va 4.115. √o + 2√ab √a √a-√o a-b √ab+b √a+vo 2a +√a-b 2b . T

Ответ: Решения уравнений ниже.

4.112 a)

\[\frac{a+2\sqrt{3}}{3a-3\sqrt{3}} - \frac{2a-2c}{2a} + \frac{3c-a}{a^2-ac+c\sqrt{3}-a\sqrt{3}}\]

Упростим каждое слагаемое:

• Первое слагаемое: \[\frac{a+2\sqrt{3}}{3(a-\sqrt{3})}\]
• Второе слагаемое: \[\frac{2a-2c}{2a} = \frac{a-c}{a}\]
• Третье слагаемое: \[\frac{3c-a}{a^2-ac+c\sqrt{3}-a\sqrt{3}} = \frac{3c-a}{a(a-c) + \sqrt{3}(c-a)} = \frac{3c-a}{(a-c)(a-\sqrt{3})}\]

Приведем к общему знаменателю: \[3a(a-c)(a-\sqrt{3})\]

Тогда выражение будет выглядеть так:

\[\frac{(a+2\sqrt{3})a(a-c) - (a-c)3(a-\sqrt{3}) + (3c-a)3a}{3a(a-c)(a-\sqrt{3})}\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

Итоговое выражение:

\[\frac{a^3 - a^2c + 2\sqrt{3}a^2 - 6a^2 + 10ac + 3a\sqrt{3} - 3c\sqrt{3} - 2\sqrt{3}ac}{3a(a-c)(a-\sqrt{3})}\]

4.112 б)

\[\frac{4xy((x+\sqrt{2})^2 - y^2)}{2-x^2-y^2+2xy} \cdot \left(1-\frac{2x}{x+y+\sqrt{2}}\right)\]

Разложим выражение в скобках:

\[1-\frac{2x}{x+y+\sqrt{2}} = \frac{x+y+\sqrt{2} - 2x}{x+y+\sqrt{2}} = \frac{y-x+\sqrt{2}}{x+y+\sqrt{2}}\]

Теперь упростим первую дробь:

\[\frac{4xy((x+\sqrt{2})^2 - y^2)}{2-x^2-y^2+2xy} = \frac{4xy(x+\sqrt{2}-y)(x+\sqrt{2}+y)}{2-(x-y)^2} = \frac{4xy(x+\sqrt{2}-y)(x+\sqrt{2}+y)}{(\sqrt{2}-x+y)(\sqrt{2}+x-y)}\]

Подставим все в исходное выражение:

\[\frac{4xy(x+\sqrt{2}-y)(x+\sqrt{2}+y)}{(\sqrt{2}-x+y)(\sqrt{2}+x-y)} \cdot \frac{y-x+\sqrt{2}}{x+y+\sqrt{2}}\]

Сократим:

\[\frac{4xy(x+\sqrt{2}-y)}{(\sqrt{2}+x-y)}\]

\[\frac{4xy(x-y+\sqrt{2})}{(x-y+\sqrt{2})}\]

Остается:

\[4xy\]

4.113

\[\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{a-b}{a^2+ab}\]

Приведем к общему знаменателю в скобках:

\[\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}\]

Тогда выражение примет вид:

\[\frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2+ab} = \frac{a+b}{a(a+b)} = \frac{1}{a}\]

4.114

\[\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\right) \cdot \left(\sqrt[4]{\frac{a}{4}} + \frac{1}{\sqrt[4]{4a}}\right)\]

Приведем к общему знаменателю в первой скобке:

\[\frac{(\sqrt{a}+1)^2 - (\sqrt{a}-1)^2}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} = \frac{a + 2\sqrt{a} + 1 - (a - 2\sqrt{a} + 1)}{a-1} = \frac{4\sqrt{a}}{a-1}\]

Упростим вторую скобку:

\[\sqrt[4]{\frac{a}{4}} + \frac{1}{\sqrt[4]{4a}} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{4}} + \frac{1}{\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt[4]{a}^2 + 1}{\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a}}\]

Итоговое выражение:

\[\frac{4\sqrt{a}}{a-1} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a}} = \frac{4\sqrt[4]{a^3}}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a}} = \frac{4\sqrt[4]{a^2}}{\sqrt[4]{4}(\sqrt{a}-1)} = \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt[4]{4}(\sqrt{a}-1)}\]

4.115

\[\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right) \cdot \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{ab+b}}\]

Приведем к общему знаменателю в скобках:

\[\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a - \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}\]

Тогда выражение примет вид:

\[\frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{ab+b}}\]

\[\frac{2\sqrt{ab}(a+b)}{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{ab+b})}\]

Ответ:

4.112 a) \(\frac{a^3 - a^2c + 2\sqrt{3}a^2 - 6a^2 + 10ac + 3a\sqrt{3} - 3c\sqrt{3} - 2\sqrt{3}ac}{3a(a-c)(a-\sqrt{3})}\)

4.112 б) \(4xy\)

4.113 \(\frac{1}{a}\)

4.114 \(\frac{4\sqrt{a}}{\sqrt[4]{4}(\sqrt{a}-1)}\)

4.115 \(\frac{2\sqrt{ab}(a+b)}{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{ab+b})}\)