16x²-8x+1 / 4x²+19x-5 ≤ 0.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель на множители.
   Числитель: \(16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2\).
   Знаменатель: \(4x^2 + 19x - 5 = (4x - 1)(x + 5)\).
2. Шаг 2: Перепишем неравенство с учетом разложения на множители:
   \[\frac{(4x - 1)^2}{(4x - 1)(x + 5)} \le 0\]
3. Шаг 3: Упростим выражение, сократив на \((4x - 1)\) при условии, что \(x
   e \frac{1}{4}\):
   \[\frac{4x - 1}{x + 5} \le 0\]
4. Шаг 4: Найдем нули числителя и знаменателя:
   Числитель: \(4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\).
   Знаменатель: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\).
5. Шаг 5: Отметим точки \(-5\) и \(\frac{1}{4}\) на числовой прямой. Важно помнить, что \(x = \frac{1}{4}\) был исключен ранее, так как на него сокращали, поэтому он не входит в решение.
   \[-\infty \quad (-5) \quad + \quad (1/4) \quad + \infty\]
   Определим знаки на интервалах:
   • При \(x < -5\), например, \(x = -6\): \(\frac{4(-6) - 1}{-6 + 5} = \frac{-25}{-1} = 25 > 0\).
   • При \(-5 < x < \frac{1}{4}\), например, \(x = 0\): \(\frac{4(0) - 1}{0 + 5} = \frac{-1}{5} < 0\).
   • При \(x > \frac{1}{4}\), например, \(x = 1\): \(\frac{4(1) - 1}{1 + 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} > 0\).
6. Шаг 6: Выберем интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Учитываем, что \(x = \frac{1}{4}\) исключается, так как на него сокращали:

Ответ: \(x \in (-5; \frac{1}{4})\)