Решение уравнения

Решим уравнение:

$$ \frac{x^2}{x+2} + 4x = \frac{2x+3}{3} $$

Умножим обе части уравнения на 3(x+2), чтобы избавиться от знаменателей:

$$ 3x^2 + 12x(x+2) = (2x+3)(x+2) $$

Раскроем скобки:

$$ 3x^2 + 12x^2 + 24x = 2x^2 + 4x + 3x + 6 $$

Приведем подобные члены:

$$ 15x^2 + 24x = 2x^2 + 7x + 6 $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ 15x^2 - 2x^2 + 24x - 7x - 6 = 0 $$ $$ 13x^2 + 17x - 6 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

В нашем случае: a = 13, b = 17, c = -6

$$ D = 17^2 - 4 * 13 * (-6) = 289 + 312 = 601 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{-17 + \sqrt{601}}{2 * 13} = \frac{-17 + \sqrt{601}}{26} $$ $$ x_2 = \frac{-17 - \sqrt{601}}{2 * 13} = \frac{-17 - \sqrt{601}}{26} $$

Оба корня являются решениями уравнения, так как не обращают знаменатель в ноль.

Ответ: $$ x_1 = \frac{-17 + \sqrt{601}}{26}, \quad x_2 = \frac{-17 - \sqrt{601}}{26} $$