4x²+12x+12/x+4/x²=47

ШАГ 1. Анализ условия и идентификация задачи.

Дано уравнение: $$4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 47$$

Необходимо решить данное уравнение.

ШАГ 2. Выбор методики и планирование решения.

Преобразуем уравнение, чтобы упростить его решение. Заметим, что уравнение можно переписать, сгруппировав члены:

$$4(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 12(x + \frac{1}{x}) = 47$$

Сделаем замену: $$y = x + \frac{1}{x}$$

Тогда $$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$, значит $$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$$

Теперь уравнение можно переписать как:

$$4(y^2 - 2) + 12y = 47$$

$$4y^2 - 8 + 12y = 47$$

$$4y^2 + 12y - 55 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-55) = 144 + 880 = 1024$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 4} = \frac{-44}{8} = -\frac{11}{2}$$

Теперь вернемся к переменной x.

Случай 1: $$y = \frac{5}{2}$$

$$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$$

$$2x^2 + 2 = 5x$$

$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$

$$\sqrt{D} = 3$$

$$x_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Случай 2: $$y = -\frac{11}{2}$$

$$x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2}$$

$$2x^2 + 2 = -11x$$

$$2x^2 + 11x + 2 = 0$$

$$D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 121 - 16 = 105$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{105}$$

$$x_3 = \frac{-11 + \sqrt{105}}{4}$$

$$x_4 = \frac{-11 - \sqrt{105}}{4}$$

Итак, решения уравнения:

$$x_1 = 2$$

$$x_2 = \frac{1}{2}$$

$$x_3 = \frac{-11 + \sqrt{105}}{4}$$

$$x_4 = \frac{-11 - \sqrt{105}}{4}$$

Ответ: x = 2, 1/2, (-11 + √105)/4, (-11 - √105)/4