Решение уравнения

Для решения уравнения x⁴ = (2x - 15)² необходимо выполнить следующие шаги:

1. Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения:

   Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, учитывая, что квадратный корень из x⁴ равен x², а также учитывая возможность положительного и отрицательного значений:

   $$x^2 = \pm (2x - 15)$$
2. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: x² = 2x - 15
   • Случай 2: x² = -(2x - 15)
3. Решение первого случая: x² = 2x - 15

   Преобразуем уравнение к виду квадратного:

   $$x^2 - 2x + 15 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$$

   Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение x² - 2x + 15 = 0 не имеет действительных корней.

4. Решение второго случая: x² = -(2x - 15)

   Преобразуем уравнение:

   $$x^2 = -2x + 15$$ $$x^2 + 2x - 15 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

   Найдем корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
5. Проверка корней:
   • Для x = 3: $$3^4 = (2 \cdot 3 - 15)^2$$ $$81 = (6 - 15)^2$$ $$81 = (-9)^2$$ $$81 = 81$$ – верно.
   • Для x = -5: $$(-5)^4 = (2 \cdot (-5) - 15)^2$$ $$625 = (-10 - 15)^2$$ $$625 = (-25)^2$$ $$625 = 625$$ – верно.

Ответ: Корни уравнения: x = 3 и x = -5.