Решение:

Для решения данного уравнения, попробуем сгруппировать члены и разложить многочлен на множители.

$$3x^4 - 8x^3 + 12x - 32 = 0$$

Сгруппируем первые два и последние два члена:

$$(3x^4 - 8x^3) + (12x - 32) = 0$$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$$x^3(3x - 8) + 4(3x - 8) = 0$$

Теперь вынесем общий множитель (3x - 8):

$$(3x - 8)(x^3 + 4) = 0$$

Теперь мы имеем два множителя. Рассмотрим каждый из них:

1. $$3x - 8 = 0$$ $$3x = 8$$ $$x = \frac{8}{3}$$
2. $$x^3 + 4 = 0$$ $$x^3 = -4$$ $$x = \sqrt[3]{-4}$$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения:

$$x_1 = \frac{8}{3}$$ $$x_2 = \sqrt[3]{-4}$$

Ответ: Корни уравнения: $$x_1 = \frac{8}{3}, x_2 = \sqrt[3]{-4}$$