X₁ - 2x₂ + x₃=2 2x₁+x₂-2x₃=1, 3x₁+2x₂-3x₃ = 0

Это система линейных уравнений с тремя переменными. Запишем систему уравнений:

$$x_1 - 2x_2 + x_3 = 2$$

$$2x_1 + x_2 - 3x_3 = 1$$

$$3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$$

Можно решить эту систему уравнений методом Гаусса, методом Крамера или методом подстановки. Решим методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$

Выполним элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду. Вычтем из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки вычтем утроенную первую строку:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & -5 & -3 \\ 0 & 8 & -6 & -6 \end{pmatrix}$$

Разделим вторую строку на 5:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{3}{5} \\ 0 & 8 & -6 & -6 \end{pmatrix}$$

Вычтем из третьей строки восемь раз вторую строку:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{3}{5} \\ 0 & 0 & 2 & -\frac{6}{5} \end{pmatrix}$$

Разделим третью строку на 2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{3}{5} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{5} \end{pmatrix}$$

Теперь выразим переменные из полученной матрицы. Из третьей строки имеем:

$$x_3 = -\frac{3}{5}$$

Из второй строки имеем:

$$x_2 - x_3 = -\frac{3}{5}$$

$$x_2 = x_3 - \frac{3}{5} = -\frac{3}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{6}{5}$$

Из первой строки имеем:

$$x_1 - 2x_2 + x_3 = 2$$

$$x_1 = 2 + 2x_2 - x_3 = 2 + 2(-\frac{6}{5}) - (-\frac{3}{5}) = 2 - \frac{12}{5} + \frac{3}{5} = 2 - \frac{9}{5} = \frac{10 - 9}{5} = \frac{1}{5}$$

Итак, решение системы уравнений:

$$x_1 = \frac{1}{5}, \quad x_2 = -\frac{6}{5}, \quad x_3 = -\frac{3}{5}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{5}, \quad x_2 = -\frac{6}{5}, \quad x_3 = -\frac{3}{5}$$