2x+√34-5x=4

Решим уравнение $$2x + \sqrt{34 - 5x} = 4$$.

Для начала изолируем корень, перенеся 2x в правую часть уравнения:

$$\sqrt{34 - 5x} = 4 - 2x$$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$(\sqrt{34 - 5x})^2 = (4 - 2x)^2$$

$$34 - 5x = 16 - 16x + 4x^2$$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, перенеся все члены в правую часть:

$$0 = 4x^2 - 16x + 5x + 16 - 34$$

$$4x^2 - 11x - 18 = 0$$

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 121 + 288 = 409$$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{409}}{8}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{409}}{8}$$

Теперь необходимо проверить, какие из этих корней подходят в исходное уравнение. Подставим каждый корень в уравнение $$\sqrt{34 - 5x} = 4 - 2x$$.

Проверка корня $$x_1 = \frac{11 + \sqrt{409}}{8}$$:

$$4 - 2(\frac{11 + \sqrt{409}}{8}) = 4 - \frac{11 + \sqrt{409}}{4} = \frac{16 - 11 - \sqrt{409}}{4} = \frac{5 - \sqrt{409}}{4}$$

Так как $$\sqrt{409} > 5$$, то $$4 - 2x_1 < 0$$. Однако, $$\sqrt{34 - 5x}$$ не может быть отрицательным, следовательно, этот корень не подходит.

Проверка корня $$x_2 = \frac{11 - \sqrt{409}}{8}$$:

$$4 - 2(\frac{11 - \sqrt{409}}{8}) = 4 - \frac{11 - \sqrt{409}}{4} = \frac{16 - 11 + \sqrt{409}}{4} = \frac{5 + \sqrt{409}}{4}$$

Так как $$4 - 2x_2 > 0$$, нужно проверить, что $$34 - 5x_2 > 0$$:

$$34 - 5(\frac{11 - \sqrt{409}}{8}) = \frac{272 - 55 + 5\sqrt{409}}{8} = \frac{217 + 5\sqrt{409}}{8} > 0$$

Таким образом, $$x_2$$ является решением уравнения.

Итак, решением уравнения является $$x = \frac{11 - \sqrt{409}}{8}$$.

Ответ: $$x = \frac{11 - \sqrt{409}}{8}$$