32x-54⋅(13)2(x+1)x+3−1≤0

Рассмотрим неравенство:

$$ \frac{3^{2x} - 54 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{2(x+1)}}{x+3} - 1 \le 0 $$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{3^{2x} - 54 "." \frac{1}{3^{2x+2}}}{x+3} - 1 \le 0 $$ $$ \frac{3^{2x} - \frac{54}{9 \cdot 3^{2x}}}{x+3} - 1 \le 0 $$ $$ \frac{3^{2x} - \frac{6}{3^{2x}}}{x+3} - 1 \le 0 $$

Пусть $$y = 3^{2x}$$ . Тогда неравенство примет вид:

$$ \frac{y - \frac{6}{y}}{x+3} - 1 \le 0 $$ $$ \frac{y^2 - 6}{y(x+3)} - 1 \le 0 $$ $$ \frac{y^2 - 6 - y(x+3)}{y(x+3)} \le 0 $$ $$ \frac{y^2 - y(x+3) - 6}{y(x+3)} \le 0 $$

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $$y^2 - y(x+3) - 6$$.

$$D = (x+3)^2 + 24 = x^2 + 6x + 9 + 24 = x^2 + 6x + 33$$ $$y_{1,2} = \frac{(x+3) \pm \sqrt{x^2+6x+33}}{2}$$

Тогда числитель можно представить в виде:

$$\left(y - \frac{(x+3) + \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right) \left(y - \frac{(x+3) - \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right)$$

Исходное неравенство можно записать как:

$$ \frac{\left(3^{2x} - \frac{(x+3) + \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right) \left(3^{2x} - \frac{(x+3) - \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right)}{3^{2x}(x+3)} \le 0 $$

Так как $$3^{2x} > 0$$ для всех $$x$$, то можно сократить на $$3^{2x}$$:

$$ \frac{\left(3^{2x} - \frac{(x+3) + \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right) \left(3^{2x} - \frac{(x+3) - \sqrt{x^2+6x+33}}{2}\right)}{x+3} \le 0 $$

Неравенство сложное, и без дополнительных упрощений или численных методов решить его затруднительно.

Попробуем решить более простым способом.

$$ \frac{3^{2x} - \frac{6}{3^{2x}}}{x+3} - 1 \le 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{3^{4x} - 6 - 3^{2x}(x+3)}{3^{2x}(x+3)} \le 0 $$

Замена $$t = 3^{2x}$$

$$ \frac{t^2 - t(x+3) - 6}{t(x+3)} \le 0 $$

$$t > 0$$, следовательно:

$$ \frac{t^2 - t(x+3) - 6}{x+3} \le 0 $$ $$ \frac{3^{4x} - 3^{2x}(x+3) - 6}{x+3} \le 0 $$

Далее нужно решать неравенство методом интервалов, но в силу сложности выражения, задача выходит за рамки школьной программы.

Ответ: Решение требует численных методов.