2x >= log_5(29*10^(x-1)-4^x)

Давай решим это неравенство по шагам. Для начала, перепишем неравенство, чтобы было понятнее: \[2x \geq \log_5(29 \cdot 10^{x-1} - 4^x)\] Теперь давай упростим выражение внутри логарифма. Заметим, что \(10^{x-1} = \frac{10^x}{10}\), поэтому: \[29 \cdot 10^{x-1} = 29 \cdot \frac{10^x}{10} = 2.9 \cdot 10^x\] Тогда наше неравенство можно переписать как: \[2x \geq \log_5(2.9 \cdot 10^x - 4^x)\] Для дальнейшего решения нам нужно избавиться от логарифма. Это можно сделать, возведя 5 в степень обеих частей неравенства: \[5^{2x} \geq 2.9 \cdot 10^x - 4^x\] Заметим, что \(5^{2x} = (5^2)^x = 25^x\). Перепишем неравенство: \[25^x \geq 2.9 \cdot 10^x - 4^x\] Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить: \[25^x - 2.9 \cdot 10^x + 4^x \geq 0\] Разделим обе части неравенства на \(10^x\) (так как \(10^x > 0\) для всех \(x\), знак неравенства не изменится): \[\frac{25^x}{10^x} - 2.9 + \frac{4^x}{10^x} \geq 0\] Используя свойство степеней, перепишем это как: \[\left(\frac{25}{10}\right)^x - 2.9 + \left(\frac{4}{10}\right)^x \geq 0\] \[(2.5)^x - 2.9 + (0.4)^x \geq 0\] Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = (2.5)^x + (0.4)^x - 2.9\). Нам нужно найти значения \(x\), при которых \(f(x) \geq 0\). Заметим, что при \(x = 1\): \[f(1) = 2.5 + 0.4 - 2.9 = 2.9 - 2.9 = 0\] Таким образом, \(x = 1\) является решением. Чтобы понять, как ведет себя функция, можно рассмотреть ее производную. Однако, это выходит за рамки школьной программы. Можно также попробовать несколько других значений \(x\), чтобы убедиться, что функция возрастает при \(x > 1\) и убывает при \(x < 1\). Например, если \(x = 0\): \[f(0) = (2.5)^0 + (0.4)^0 - 2.9 = 1 + 1 - 2.9 = -0.9 < 0\] Если \(x = 2\): \[f(2) = (2.5)^2 + (0.4)^2 - 2.9 = 6.25 + 0.16 - 2.9 = 6.41 - 2.9 = 3.51 > 0\] Итак, мы видим, что функция меняет знак в точке \(x = 1\). Таким образом, решением неравенства является: \[x \geq 1\]

Ответ: x >= 1

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Уверен, что ты можешь решать еще более сложные задачи, если будешь практиковаться.