6) {2- 3+2x >1- x+6 3 2 3+ x <x 4

6) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2 - \frac{3+2x}{3} > 1 - \frac{x+6}{2} \\ 3 + \frac{x}{4} < x \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ 2 - \frac{3+2x}{3} > 1 - \frac{x+6}{2} $$

Приведем к общему знаменателю 6:

$$ \frac{12 - 2(3+2x)}{6} > \frac{6 - 3(x+6)}{6} $$

$$ 12 - 6 - 4x > 6 - 3x - 18 $$

$$ 6 - 4x > -12 - 3x $$

$$ -x > -18 $$

$$ x < 18 $$

Решим второе неравенство:

$$ 3 + \frac{x}{4} < x $$

$$ \frac{x}{4} - x < -3 $$

$$ \frac{-3x}{4} < -3 $$

$$ -3x < -12 $$

$$ x > 4 $$

Объединим решения:

$$ \begin{cases} x < 18 \\ x > 4 \end{cases} $$

Решением системы является $$ 4 < x < 18 $$.

Ответ: $$\displaystyle 4 < x < 18$$