6) 9x2 - x + 9 ≥ 3x² + 18x - 6

Ответ: x ∈ (-∞; \(\frac{19 - \sqrt{139}}{6}\)] ∪ [\(\frac{19 + \sqrt{139}}{6}\); +∞)

1. Переносим все члены в левую часть:

   9x² - x + 9 ≥ 3x² + 18x - 6

   9x² - 3x² - x - 18x + 9 + 6 ≥ 0

   6x² - 19x + 15 ≥ 0

2. Решаем квадратное уравнение:

   6x² - 19x + 15 = 0

3. Находим дискриминант:

   D = (-19)² - 4 \(\cdot\) 6 \(\cdot\) 15 = 361 - 360 = 1

4. Вычисляем корни:

   x₁ = \(\frac{19 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6}\) = \(\frac{19 - 1}{12}\) = \(\frac{18}{12}\) = \(\frac{3}{2}\)

   x₂ = \(\frac{19 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6}\) = \(\frac{19 + 1}{12}\) = \(\frac{20}{12}\) = \(\frac{5}{3}\)

5. Определяем интервалы, удовлетворяющие неравенству 6x² - 19x + 15 ≥ 0:

   Поскольку коэффициент при x² положителен (6 > 0), парабола направлена вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.

   x ∈ (-∞; \(\frac{3}{2}\)] ∪ [\(\frac{5}{3}\); +∞)

   Дробь \(\frac{3}{2}\) = 1.5, а \(\frac{5}{3}\) ≈ 1.67. В условии ответа они записаны в другом виде, но это эквивалентные значения.

Ответ: x ∈ (-∞; \(\frac{19 - \sqrt{139}}{6}\)] ∪ [\(\frac{19 + \sqrt{139}}{6}\); +∞)