3x + y = 10, x²- y = 8. •2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диа наль равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

Выразим y из первого уравнения: 3x + y = 10 \(\) => \(\) y = 10 - 3x

Подставим это во второе уравнение: x² - y = 8 \(\) => \(\) x² - (10 - 3x) = 8

Раскроем скобки и упростим: x² + 3x - 10 = 8 \(\) => \(\) x² + 3x - 18 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = b² - 4ac = 3² - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81

x₁ = (-b + \(\sqrt{D}\))/2a = (-3 + \(\sqrt{81}\))/2 = (-3 + 9)/2 = 6/2 = 3

x₂ = (-b - \(\sqrt{D}\))/2a = (-3 - \(\sqrt{81}\))/2 = (-3 - 9)/2 = -12/2 = -6

Подставим значения x в уравнение y = 10 - 3x:

Если x = 3, то y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1

Если x = -6, то y = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28

Ответ: (3; 1) и (-6; 28)

Решение задачи про прямоугольник

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Периметр прямоугольника равен 2(a + b), а диагональ равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

Из условия задачи имеем:

2(a + b) = 14

\(\sqrt{a^2 + b^2}\) = 5

Решим систему уравнений:

a + b = 7 \(\) => \(\) b = 7 - a

a² + b² = 25

Подставим b = 7 - a во второе уравнение:

a² + (7 - a)² = 25

a² + 49 - 14a + a² = 25

2a² - 14a + 24 = 0

a² - 7a + 12 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-7)² - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1

a₁ = (7 + \(\sqrt{1}\))/2 = (7 + 1)/2 = 8/2 = 4

a₂ = (7 - \(\sqrt{1}\))/2 = (7 - 1)/2 = 6/2 = 3

Найдем соответствующие значения b:

Если a = 4, то b = 7 - 4 = 3

Если a = 3, то b = 7 - 3 = 4

Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.