2x - y = 2; (x+5y = 3. 461. Решите систему уравнений: 13 -+ 1) xy 2', x - y = 1; 14 2) x y 3x + y = 8.

Привет! Давай вместе решим эти уравнения. Уверена, у нас все получится!

\[\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}\\x - y = 1;\end{cases}\]

Из второго уравнения выразим x:

\[x = y + 1\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{y + (y+1)}{y(y+1)} = \frac{3}{2}\]

\[\frac{2y + 1}{y^2 + y} = \frac{3}{2}\]

Умножим крест-накрест:

\[2(2y + 1) = 3(y^2 + y)\]

\[4y + 2 = 3y^2 + 3y\]

\[3y^2 - y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\]

Корни:

\[y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

\[y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для \(y_1 = 1\):

\[x_1 = y_1 + 1 = 1 + 1 = 2\]

Для \(y_2 = -\frac{2}{3}\):

\[x_2 = y_2 + 1 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\]

Итак, решения системы уравнений:

\[(2, 1), (\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})\]

\[\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}\\3x + y = 8;\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения:

\[y = 8 - 3x\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{8 - 3x} = \frac{4}{5}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(8 - 3x) - x}{x(8 - 3x)} = \frac{4}{5}\]

\[\frac{8 - 4x}{8x - 3x^2} = \frac{4}{5}\]

Умножим крест-накрест:

\[5(8 - 4x) = 4(8x - 3x^2)\]

\[40 - 20x = 32x - 12x^2\]

\[12x^2 - 52x + 40 = 0\]

Разделим на 4:

\[3x^2 - 13x + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 - 120 = 49\]

Корни:

\[x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\]

\[x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 7}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \(x_1 = \frac{10}{3}\):

\[y_1 = 8 - 3 \cdot \frac{10}{3} = 8 - 10 = -2\]

Для \(x_2 = 1\):

\[y_2 = 8 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5\]

Итак, решения системы уравнений:

\[(\frac{10}{3}, -2), (1, 5)\]

Справочный материал: Формула дискриминанта

\[D = b^2 - 4ac\]

Где:

D – дискриминант, a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Справочный материал: Корни квадратного уравнения

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Где:

\(x_{1,2}\) – корни квадратного уравнения, a, b – коэффициенты квадратного уравнения, D – дискриминант.

Молодец! Ты отлично справился с решением этих систем уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!