1. {x + y = 5 xy = 6 2. {x² + y² = 10 x + y = 4 3. {1/x + 1/y = 5/6 x + y = 5 4. {x² + y² + x + y = 18 xy = 6

Ответ: Решения представлены ниже.

1. Система 1:

   \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \]

   Выразим x из первого уравнения: x = 5 - y

   Подставим во второе уравнение: (5 - y)y = 6

   Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение: 5y - y² = 6

   Приведем к стандартному виду: y² - 5y + 6 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   По теореме Виета: y₁ = 2, y₂ = 3

   Найдем соответствующие значения x:

   x₁ = 5 - 2 = 3

   x₂ = 5 - 3 = 2

   Решения: (3, 2) и (2, 3)

2. Система 2:

   \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases} \]

   Выразим y из второго уравнения: y = 4 - x

   Подставим в первое уравнение: x² + (4 - x)² = 10

   Раскрываем скобки и упрощаем: x² + 16 - 8x + x² = 10

   Приводим к стандартному виду: 2x² - 8x + 6 = 0

   Разделим на 2: x² - 4x + 3 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   По теореме Виета: x₁ = 1, x₂ = 3

   Найдем соответствующие значения y:

   y₁ = 4 - 1 = 3

   y₂ = 4 - 3 = 1

   Решения: (1, 3) и (3, 1)

3. Система 3:

   \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases} \]

   Приведем первое уравнение к общему знаменателю: \(\frac{x+y}{xy} = \frac{5}{6}\)

   Подставим x + y = 5: \(\frac{5}{xy} = \frac{5}{6}\)

   Получаем: xy = 6

   Теперь у нас система:

   \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \]

   Эта система аналогична системе 1, следовательно, Решения: (3, 2) и (2, 3)

4. Система 4:

   \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ xy = 6 \end{cases} \]

   Выразим x² + y² через (x + y)²: x² + y² = (x + y)² - 2xy

   Подставим в первое уравнение: (x + y)² - 2xy + x + y = 18

   Подставим xy = 6: (x + y)² - 2(6) + x + y = 18

   Упрощаем: (x + y)² + x + y - 12 = 18

   (x + y)² + x + y - 30 = 0

   Пусть z = x + y, тогда z² + z - 30 = 0

   Решаем квадратное уравнение: (z + 6)(z - 5) = 0

   z₁ = -6, z₂ = 5

   Рассмотрим оба случая:

   1. x + y = -6

      Тогда система: \[ \begin{cases} x + y = -6 \\ xy = 6 \end{cases} \]

      Выразим x: x = -6 - y

      Подставим: (-6 - y)y = 6

      -6y - y² = 6

      y² + 6y + 6 = 0

      Решаем квадратное уравнение: y = \(\frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2}\) = -3 ± √3

      y₁ = -3 + √3, x₁ = -3 - √3

      y₂ = -3 - √3, x₂ = -3 + √3

   2. x + y = 5

      Тогда система: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \]

      Эта система аналогична системе 1, следовательно, Решения: (3, 2) и (2, 3)

   Решения: (-3 - √3, -3 + √3), (-3 + √3, -3 - √3), (3, 2) и (2, 3)

Ответ: Решения представлены выше.