2x + 3y 2x + 3y 2x-3y): (2x-3y 1) (2x-3y-2x+3y): (2x+3y -2x- 5x + 4y 5x-4y : 5x-4y 5x+ 5x-4y x-3y 5x + 4y 5x-4y Вычислите. 1) (1) (1) (1-4)... (1-1) 22 42 102 2) (1-12) (1-13) (1-1)... (1-20) 142

Решение задания 1

Давай вычислим значение выражения:

\[\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{10^2}\right)\]

Заметим, что каждый член в скобках можно представить как разность квадратов: \( 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2} \). Тогда выражение можно переписать как:

\[\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^2} \cdot \frac{(3 - 1)(3 + 1)}{3^2} \cdot \frac{(4 - 1)(4 + 1)}{4^2} \dots \frac{(10 - 1)(10 + 1)}{10^2}\] \[= \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \dots \frac{9 \cdot 11}{10^2}\]

Перегруппируем множители:

\[= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 9}{2 \cdot 3 \cdot 4 \dots 10} \cdot \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \dots 11}{2 \cdot 3 \cdot 4 \dots 10}\]

Сократим дроби:

\[= \frac{1}{10} \cdot \frac{11}{2} = \frac{11}{20}\]

Ответ: \(\frac{11}{20}\)

Решение задания 2

Вычислим значение выражения:

\[\left(1 - \frac{1}{12^2}\right)\left(1 - \frac{1}{13^2}\right)\left(1 - \frac{1}{14^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{20^2}\right)\]

Аналогично предыдущему заданию, представим каждый член как разность квадратов: \( 1 - \frac{1}{n^2} = \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2} \). Тогда выражение можно переписать как:

\[\frac{(12 - 1)(12 + 1)}{12^2} \cdot \frac{(13 - 1)(13 + 1)}{13^2} \cdot \frac{(14 - 1)(14 + 1)}{14^2} \dots \frac{(20 - 1)(20 + 1)}{20^2}\] \[= \frac{11 \cdot 13}{12^2} \cdot \frac{12 \cdot 14}{13^2} \cdot \frac{13 \cdot 15}{14^2} \dots \frac{19 \cdot 21}{20^2}\]

Перегруппируем множители:

\[= \frac{11 \cdot 12 \cdot 13 \dots 19}{12 \cdot 13 \cdot 14 \dots 20} \cdot \frac{13 \cdot 14 \cdot 15 \dots 21}{12 \cdot 13 \cdot 14 \dots 20}\]

Сократим дроби:

\[= \frac{11}{20} \cdot \frac{21}{12} = \frac{11}{20} \cdot \frac{7}{4} = \frac{77}{80}\]

Ответ: \(\frac{77}{80}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!