(x-1)/(x+2) + x/(x-2) = 8/(x^2-4)

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным.

Приведём все дроби к общему знаменателю \( x^2 - 4 \), который можно разложить как \( (x-2)(x+2) \).

ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

\( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4} \)

Умножим обе части уравнения на \( (x-2)(x+2) \):

\[ (x-1)(x-2) + x(x+2) = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x = 8 \]

\[ x^2 - x + 2 + x^2 = 8 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 2x^2 - x + 2 = 8 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 2x^2 - x + 2 - 8 = 0 \]

\[ 2x^2 - x - 6 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]

Проверим, не нарушают ли найденные корни ОДЗ. Корень \( x_1 = 2 \) нарушает ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). Следовательно, \( x_1 = 2 \) не является решением уравнения.

Корень \( x_2 = -1.5 \) не нарушает ОДЗ.

Ответ: x = -1.5.