(x-2)^3(x+4)/(x^2+5x-14) <= 0

Решение:

Данное неравенство относится к разделу «Алгебра» и решается методом интервалов.

1. Преобразуем знаменатель:

   Знаменатель $$x^2 + 5x - 14$$ можно разложить на множители. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 5x - 14 = 0$$ с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 \]\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 9}{2} \]\[ x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

   Таким образом, знаменатель можно записать как $$(x-2)(x+7)$$.

2. Перепишем неравенство:

   Теперь исходное неравенство выглядит так:

   \[ \frac{(x-2)^3(x+4)}{(x-2)(x+7)} \le 0 \]

   Обратите внимание, что $$x
   e 2$$ и $$x
   e -7$$, так как на ноль делить нельзя.

3. Сократим дробь:

   При $$x
   e 2$$, мы можем сократить множитель $$(x-2)$$:

   \[ \frac{(x-2)^2(x+4)}{x+7} \le 0 \]

   Множитель $$(x-2)^2$$ всегда неотрицателен. Поскольку $$x
   e 2$$, то $$(x-2)^2 > 0$$. Поэтому знак всего выражения определяется знаком дроби $$\frac{x+4}{x+7}$$.

4. Решаем методом интервалов:

   Нам нужно решить неравенство $$\frac{x+4}{x+7} \le 0$$. Найдем корни числителя и знаменателя:

   • Числитель: $$x+4 = 0 \implies x = -4$$
   • Знаменатель: $$x+7 = 0 \implies x = -7$$

   Отметим эти точки на числовой прямой:

   • $$x = -7$$ (выколотая точка, так как знаменатель не может быть равен нулю)
   • $$x = -4$$ (закрашенная точка, так как неравенство нестрогое $$\le$$)

   Разделим числовую прямую на три интервала:

   Интервал 1: $$x < -7$$

   Возьмем пробное значение, например, $$x = -8$$.

   $$\frac{-8+4}{-8+7} = \frac{-4}{-1} = 4$$. $$4 > 0$$. (Знак +)

   Интервал 2: $$-7 < x \le -4$$

   Возьмем пробное значение, например, $$x = -5$$.

   $$\frac{-5+4}{-5+7} = \frac{-1}{2} = -0.5$$. $$-0.5 < 0$$. (Знак $$-$$)

   Интервал 3: $$x > -4$$

   Возьмем пробное значение, например, $$x = 0$$.

   $$\frac{0+4}{0+7} = \frac{4}{7}$$. $$\frac{4}{7} > 0$$. (Знак +)

5. Учитываем ограничения:

   Мы получили, что неравенство $$\frac{x+4}{x+7} \le 0$$ выполняется на интервале $$(-7; -4]$$.

   Кроме того, мы знаем, что $$x
   e 2$$. Точка $$x = 2$$ не входит в полученный интервал $$(-7; -4]$$, поэтому никаких дополнительных ограничений накладывать не нужно.

Ответ: $$x \in (-7; -4]$$